DB')(CA'-AC'). 



Toute racine simple de P doit être double pour BD' — DB' ou pour 

 CA' — AC. Et cela suffit pour que les trois résidus de cette racine soient 

 nuls. En particulier, si elle annule A, elle doit annuler B et être triple 

 pour A ou pour B. 



Soit n le degré des polynômes li, k, l, P, dont doux peuvent être de degré 

 moindre. P aura n racines, certaines pouvant être infinies. Si ces n racines 

 étaient simples, P serait de degré ii ou n — i et (BD' — DB') (CA' — AC), 

 qui est au plus de degré 2n — 4, ne pourrait pas être divisible par P-. Donc 

 le polynôme h- -h k'^ -\- l- ne peut pas avoir n racines doubles (j'avais déjà 

 démontré ce résultat pour les courbes réelles). 



Supposons cjue P ait ii — 2 racines simples et une racine double, que 

 l'on peut rendre infinie. Par un changement d'axes réel, on peut rame- 

 ner / à être de degré inférieur à n et AB à être de degré n\ D sera de 

 degré inférieur à B et C de degré inférieur à A. Les deux polynômes 

 (BD' — DB')(AC' — CA') et P- étant de même degré, on doit avoir 



BD'-DB'=Q2, 



AC'-CA-RS ^'^ = AD + BC=:XQR, 



où X est constant; QR n'a que des racines simples. On en déduit 



PY_Q^ /CY_R^ D C QR 



,aJ "~ A^' b "^ A" AB' 



\^) B'- 



AQ BR_ /Q' R^ A' B' 



BR ' AQ ~ V Q K A B 



AQ et BR sont de même degré. Une racine commune à A et Q sera triple 

 pour B et disparaît au dénominateur de -rj^ et de ^ ~ ^ — On aura donc 



AO ./R' B 



BR- '"-^'VR-R 



i BR , /Q' A'\ 



AQ — /BR 



(p.- = ~i, soil [J- = i), 



= BR'— RB'= «(QA'— AQ'), 



