SÉANCE DU l" JUILLET I907. ' 49 



^ devant avoir ses résidus nuls, une racine simple de B annule 2 Q'B'— QB" 



et, dans tous les cas, 



>,(2A'B'-AB"-BA")+2t(AB'-BA') = ^(2Q'B'-QB"— BQ") 



= ^(2R' A'— RA"- AR") 

 R 



serait divisible par AB, ce qui est impossible, car il est de degré moindre. 



Donc SA' ne peut pas avoir plus de n — 3 racines doubles. 



Lorsque P n'a qu'une racine multiple, on peut la rendre infinie et l'on 

 retrouve la méthode de M. Darboux. Si P a plusieurs racines différentes, 

 on doit avoir n > 3. Pour n = 4, il y a deux solutions distinctes : 



A = ^^ C = i — <'D, 



^'' ' Bz=i, AD-hBC—t 



D étant du premier degré, et 



A = a-\-bt-ht\ C=D = t, 



^^^ ' B=— a + c< — <S AD + BC = (6 + c)^'. 



Pour n ^ 5, il y a quatre solutions distinctes : 



(3) B = <, AD -hBC = at, 

 { C=a — DQt\ 



D et Q étant du premier degré, pour que /i = 5. 

 A =t\ 



(4) ^B=t^at\ AD + BC = ^ 

 ^ ' ^ C=i — at + ÛQ, 



D = a' — (i + a<)Q. 



Q étant du premier degré. 



A =a{i 4-0+ bt^, 



^ C = i-ht, 3 ' 



A = a{i — i f ) — 3 l ~h l\ 

 , B = -(—2 — 3at + l'), AD-+-BC =— 2(n-<»), 



'c = 6(.-3n, AC'_CA'=36(.-..T. 



D = 3/, 

 C. R., 1907, 2' Semestre. (T. CXLV, N« 1.) 



