5o • ACADÉMIE DES SCIENCES. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les intégrales de l'équation différen- 

 tielle / 4- Aoy'+ Ajy' = o. Note de M. Pierre Boutroux, trans- 

 mise par M. Painlevé. 



L'infini est en général point singulier transcendant pour les intégrales 

 de l'équation 



(i) j'+A„+A,j-(-A2j--i-A3j' = o, 



OÙ les A sont des polynômes en x. J'ai déjà indiqué (Comptes rendus, i8 fé- 

 vrier 1907) comment l'étude de ce point transcendant pouvait être décom- 

 posée : 1° étude d'une branche d'intégrale isolée; 1^ étude du mécanisme 

 par lequel les branches s'échangent entre elles. J'ai énoncé de plus quelques 

 lois générales auxquelles obéit la croissance des branches d'intégrale de (i) 

 lorsque x s'approche de l'infini. Je voudrais préciser ces lois, et achever, 

 autant que possible, ce que j'ai appelé l'étude d'une branche d'intégrale 

 isolée, me plaçant pour commencer dans le cas particulier où Ao = A, = o. 

 Ce cas est caractérisé, quant à l'essentiel, par les circonstances suivantes : 

 Appelons caractéristique toute branche d'intégrale suivie à partir d'une 

 valeur initiale donnée le long d'un chemin rectiligne, et regardons une 

 branche d'intégrale (au sens restreint) comme constituée par l'ensemble 

 des caractéristiques issues d'un point initial fixe jj^ avec une valeur initiale 

 déterminée j'j. Si le module de y^ est assez grand, la branche d'intégrale de 



(2) y'^ Ajj)'--!- A3 y':= o (Aj et A3 polynômes en x) 



que définit cette valeur ne présente qu'une pluralité finie de points critiques dont 

 le nombre est déterminé par les degrés des polynômes A., et A3. 



Pour établir ce fait, et pour étudier en détail l'allure d'une branche d'in- 

 tégrale de (2) au voisinage de ic — qo, il y a lieu de distinguer trois cas, 

 suivant que les degrés m.^ et m^ des polynômes Ao et A3 sont tels que 

 m3> 2/«2 -H 2, m^S im^ ou m^ = im^ -+- i . 



Je traiterai dans cette Note le cas m^ 1, 2/;?^ 4- 2. 



L'équation (2) peut s'écrire 



(3) J = ^-', 3;'=A25-HA3, 



(4) s = v^, Ç'=2A,v/Ç + À3. 



Nous nous placerons à l'extérieur d'un cercle S de centre O et de grand 



