SÉANCE DU 1" JUILLET 1907. 5l 



rayon r (la valeur de r sera déterminée par diverses conditions énoncées 

 au cours de la démonstration), et nous considérerons une branche d'inté- 

 grale X, qui admette pour point critique un point x^ de module supérieur 



à r'"*^, a étant un nombre positif égal à — r- 



Soit — le coefficient de a;"'» dans A... 

 2 ■* 



Nous choisirons r de manière que Ton ait, lorsque [ a; | ]> r, 



I2A3— a3x"'=|<|x|"'=-'+S l2Aj|<|j| ' '^<\xY 



£ étant un nombre qui sera arbitrairement petit avec r~\ Suivons alors X, à 

 partir du point critique a;, ou : = y/C = o. 



I. Faisons d'abord croître x indéfiniment sur un chemin direct (') L. Je 

 constate que, tant que l'on a sur L l'inégalité 



(5) I Ç I < I j: 1'".+'+% ' 



on en déduit l'inéo^alité 



-»• 



(6) 



Ç(x) î_(x"'.+' — x'/''*') 



< 2 A- 1 X 1 



K étant le nombre fini qui figure dans la définition des chemins directs ('). 

 Or, il est clair que si l'on a pris assez grand le rayon r de 'Ç, l'inéga- 

 lité (6) entraîne a fortiori l'inégalité (5), quelque grand que soit \x\. 

 On en conclut que l'inégalité (6) ne peut cesser d'être satisfaite lorsque a; 

 s'éloigne indéfiniment sur le chemin L. 



II. Faisons maintenant ûfecro?^/'e xk partir de x^ sur un chemin direct, 

 mais ne pénétrons pas dans le cercle 2 qui a pour centre l'origine et pour 



rayon | a;, l'"^" a = -—^ • Je constate que, si l'on a pris r assez grand, 



on a, sur le chemin considéré, l'inégalité 



(7) 



ç{x) ^ — (x'".+' — x7»+') 



<2A-|.r, I 



(') Je définis les cliemiiis -directs par la condition suivante : x et x' étant deux 



lon^'^ueur arc xx 

 points quelconques d'un cliemin direct, le rapport ^-— = est inférieur à 



\x — x' \ 

 un nombre fixe /:, quels que soient x et x' . 



