5z ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Nous interpréterons les deux inégalités (G) et (7) en énonçant la propo- 

 sition suivante : 



Quelque petit que soit S, on peut prendre r assez grand pour que la branche 

 d'intégrale C qui s'annule au point critique x, soit donnée, sur tout chemin 

 direct extérieur au cercle S, par l'égalité 



(8) Ç=:_fL_(,4-y)^m,-Hl £l_a^m,+l 



où |y|<S. 



III. Partons maintenant d'un point x^ du contour de S où (^ = ÎIo et 

 suivons C àl'intérieur du cercle 2; nous arriverons au résultat suivant : 



Quelque petit que soit S, on peut prendre r assez grand pour que la brancheZ, 

 (^suivie le long d'un chemin direct quelconque) soit donnée à l'inténeur de S 

 par l'égalité 



(9) Ç=(H-y)Ç„, 



où I Y I <; S. 



On voit, d'après cela, que la valeur A prise par X, à l'origine croîtra 

 indéfiniment en module lorsque a?, tendra vers l'infini. Considérons alors la 

 branche d'intégrale "C [au sens restreint (voir plus haut)], qui est issue de 

 l'origine avec la valeur initiale A. Les égalités (8) et (9) nous donneront, si 

 \A.\est assez grand, une valeur approchée de la branche X, dans tout le plan. 



IV. Une fois obtenue cette valeur approchée, il nous sera facile de déter- 

 miner la situation approximative des points critiques de la branche d'inté- 

 grale X,, et d'établir le résultat fondamental énoncé plus haut : 



Soit x^ un premier point critique de l'ensemble des caractéristiques issues 

 de l'origine avec la valeur initiale A. Considérons les m^-\-i racines de 

 l'équation algébrique a?"'»"*"' = a;""^', et entourons chacune d'elles d'un 

 cercle c de rayon |ir,|'~P, ^ étant un nombre positif inférieur à ~. Je dé- 

 montre que chaque cercle c contient un point critique et un seul de l'ensemble 

 de caractéristiques considéré. Ainsi nous obtenons m^ + i points critiques; si 

 nous joignons chacun d'eux à l'infini par une coupure rectiligne que x est 

 assujetti à ne pas franchir, la branche d'intégrale définie par la valeur 

 initiale A devient uniforme dans tout le plan. 



Grâce à ces résultats, nous nous trouvons complètement armé en vue de 

 l'étude du mécanisme des échanges de branches entre elles. 



