SÉANCE DU H JUILLET 1907. t07 



rithmique pour cette brandie. Tl en résulte qu'il y a identité entre les deux 

 catégories suivantes de valeurs de x' : 



1° Les valeurs limites possibles de F(s'^ quand : s'éloione à l'infini sui- 

 vant un chemin arbitraire. Os valeurs de x sont aussi celles pour lesquelles 

 l'équation (1 ) a des racines infiniment grandes. 



2° Les points critiques logarithmiques de la fonction inverse, qui ne sont 

 pas des points limites de points critiques algébriques. 



Je me suis proposé de chercher le nombre maxiuium de ces points (que 

 je désignerai par A) pour une fonction d'ordre apparent fini p. En m'ap- 

 puyanl sur la propriété i", j'ai été conduit au théorème suivant : 



Théorème L — Le nombre des points A ne surpasse pas le plus grand en- 

 tier contenu dans 2 p. 



Pour l'établir, je me suis proposé de démontrer la proposition suivante : 



Théorèmic il - Soit dans le plan de la variable z une courbe C allant à 

 l'infini et soit C ta courbe obtenue en faisant tourner (. autour de l'origine 



d'un angle égal à — ;; — , a étant un non dire fini, arbitrairement petit. S'il 



existe deux chemins F, et T^ continuellement compris entre (Z et C et tels que 



F (s) tende suivant l'un i^ers une limite a et suivant l'autre tvrs une limite b, 



on a 



a := b. 



J'ai pu démontrer ce théorème dans les hypothèses suivantes.: 



1° Si G est un rayon recliligne partant de l'origine el, plus généralemeiil, si les deux 



chemins 1, et Ij sont intérieurs a un angle de grandeur — ayant son sommet a 



l'origine, pour les arcs île ces chemins compris entre deux cercles de rayon H, et R,, 



R, pouvant prendre une inlîuilé de valeurs croissantes telles que 7— soit infiniment 



Ri 



grand; 



fi) — (1)0 



2° Si C est une spirale d'équation r^e * (z ^ re''^). On constate alors que le 



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théorème s'applique même si l'angle de rotation amenanl C sur C est (i -t- b'^). 



V — 



Dans ce second cas, on trouve la même extension que dans le premier. 



Incidemment, on a ce théorème (encore susceptible de la même exten- 

 sion) : 



Si sur la spirale r ^= e . '' où b"^ \/-2p — \ , on a constamment 



lF(;)|<const., 

 F(^) est une constante. 



