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On ost conduit ensuite aux théorèmes suivants : 



TiiKORKME I. — Les hélicoïdes sont les seules surfaces engendrées par des 

 hélices circulaires qui forment une famille de courbes sur lesijuelles la courbure 

 totale reste constante, la valeur poumnt varier d'une génératrice à l'autre. 



CoBOLLAiisK. — Les hélicoïdes à courbure totale constante non nulle sont, 

 parmi les surfaces engendrées par une hélice circulaire, les seules qui soient 

 applicables sur la sphère ou la pseudo-sphère. 



Théorkme 11. — Les seules surfaces développables engendrées par une hélice 

 circulaire sont : 



I ° Les hélicoïdes développables ; 



2° Les canes ou cylindres admettant comme directrice une hélice circulaire. 



Théorème 111. — Les hélicoïdes sont les seules surfaces engendrées par une 

 hélice circulaire dont les génératrices soient des courbes à courbure moyenne 

 constante, la valeur de celle-ci pouvant varier d'une génératrice à une autre ou 

 être constante mais non nulle sur toute la surface. 



Problème, — Trouver la surface minima engendrée par une hélice cir- 

 culaire. 



On trouve que les seules surfaces répondant à la question appartiennent à 

 la classe dos surfaces à plan directeur et dont la génératrice est à pas linéaire 

 constant. 



Elles sont caractérisées par les trois équations dilTérenlielles 



l [K(,«'+ p(i''n' — w'v) -h 2 en-] (p^H- KJ) -H K,pH(«--h i'2 -H iv^— i) = o, 



(6) I [K(,i'' + p{u'w — w'u) -h 2«n'](p--H K,^) -H Kopc («'+ l'^-Hii'^ — l) = 0, 

 ( [Ko(«c'— (•'(/)-(-p»''](pî-+-K^) + 2.rK^ + ,vp2(«2-+-,,î_,_,v2-(-i) =0, 



dans lesquelles les dérivées u\ v', w' sont prises par rapport au rayon p. 



Je me bornerai à signaler les deux séries de solutions de cette question 

 formées par les hélicoïdes minima et par une classe de surfaces $ constituée 

 par des surfaces dont l'axe de la génératrice décrit un plan. Si Ton choisit 

 ce plan comme plan des Y = o d'un système fixe OXYZ, la famille consi- 

 dérée aura pour équation 



(7) •^ = /(p) + pcoso, j:=psincp, s = Ko<j), 



la fonction y désignant une fonction primitive quelconque de la fonction u 

 déterminée par l'équation dilTérentielle d'intégration immédiate 



(8) K„«'(Q^-f-K„^) + K„,/(«'-i):=o. 



Cette équation admet trois solutions singulières très remarquables. 



