SÉANCE DU i6 JUILLET 1907. 

 Ce sont les solutions 



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el 



La première donne l'hélicoïde gauche à plan directeur considéré comme 

 engendré par ses asymptotiques; les deux autres la même surface considérée 

 comme engendrée par les hélices circulaires de la deuxième série situées 

 sur des cylindres de révolution dont l'axe de la surface est une génératrice. 



9. Classification. — Les études précédentes permettent de poser le 

 principe d'une classification naturelle des surfaces engendrées par une 

 hélice circulaire. Elles mettent en évidence le rôle fondamental joué par la 

 présence d'un plan directeur aussi bien dans les propriétés qui paraissent se 

 lier au premier abord avec celte particularité que dans celles qui ne pa- 

 raissent pas, a priori, avoir un rapport intime avec elle. Ceci nous conduira 

 à séparer les surfaces en deux grandes classes : 1° les surfaces à plan direc- 

 teur; 2° les surfaces sans plan directeur. 



Comme second caractère d'importance considérable nous considérerons 

 la constance ou la variabilité du pas. Ce qui amène à séparer chacune des 

 classes précédentes en deux grandes familles. Dans chacune de celles-ci la 

 présence ou l'absence d'une arête de rebroussement distinguera les genres. 



Je me contenterai, afin de ne pas allonger cette Note, de présenter les 

 principes précédents sans développer le Tableau qui en résulte. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — firmarques sur le théorème de M. Jensen. Note 

 de MM. C. Carathéodory el L. Fi;jkis, transmise par i\L Emile f'icard. 



l. Nous partons du problème suivant : 



Quelle est, parmi toutes les fonctions de variable complexe /(:•)• holo- 

 morphes à l'intérieur du cercle | ; | <^ R. prenant pour ; = o la râleur 

 donnée A el s' annulant aux points a, , «o, . . . , «„ ( a, i <^ R ; «^ ^ 1 , a, . . . , n), 

 celle dont le maximum M de la valeur absolue à l'intérieur du venir soit le 

 plus petit possible {^)? 



Considérons les points a,, a.,, . . . , a,, conjugués de a,, a.,, . . . , a„ par 

 rapport au cercle | = | = R, <pii sont définis par les fonnules 



(>) 



ar- 



(1 = 1,2, ...,/«), 



(') Les valeurs a, ii'oJil |ia^ be>(iiii (.l'cUe su|p|juûcls dilléieiile-- eulre elles. 



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