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et formons l'expression 



fz — a\\ fz — a.,\ fz — a,, 



(2) 0(-^)= -^ ' 



On peut poser pour chaque fonction /(-) satisfaisant aux conditions du 

 problème 



(3) f{z) = q{z)o{z), 



en remarquant qu'ici 9(-) est également holomorphe à l'intérieur du 

 cercle | s j = R et que 



^_ Aâ, ■«;■■■«„ _ AR^" 



^^' '^^°^- a,. a,.. .a,. - \a^\.\a\\. . .\aj,\ 



La valeur absolue de Q(:) étant constante sur le cercle | ^ | = R, on peut 

 écrire 



il s'ensuit que 



M ^ max.l/(Re't')| = \"^^-\"^^- " " ' ''" ' max. | o(Ke'6) | 



et comme, à cause de (4), 



AR^" 



max.|Q(Re''')|g; 1-^-, 



on aura finalement 



(5) M > , 11^^", ^^• 



|«i|.|a., |...|a„| 



La fonction demandce ne petit donc être (/ne 



<»' ""> = i»îM»!i-.i»; i'^'"- 



ca/', r/an* ce ca^ seulement, la relation (5) c^^ //«e égalité. 



L'inégalité (5) est une conséquence du théorème connu de M. Jensen ('), 

 mais la méthode élémentaire que nous avons employée permet de constater 

 du même coup l'existence d'une fonction rationnelle pour laquelle la limite 

 inférieure de M est effectivement atteinte et de voir que celle fonction est 



(') J. Jkn.skn. Sur II II noinel vL inipariant théorème de la théorie des fonctions 

 {Acta matfiem., l. Wll. 189g, p. 359-364). — Fetersen, Ftinclionsthcorie. Co- 

 penliague, 1898. 



