SÉANCE DU l6 JUILLET I907. 167 



alors on pourra toujours calculer les p + 1 constantes a», a,, ..., ocp, de 

 manière que l'on ait 



(9) al + a\+...+ al 



I 



et que les trois fonctions harmoniques u, ç', w, avec les valeurs limites 



(10) M = — « H ^r- I v> • — / U — > • • •) n la surtace (7, 



2t: oy J^ r in dz J^ r 



remplissent l'inégalité suivante : 



(il) / (5' + u'h- ii'-i- U) )dzzSp / ( 52 -(- >l^ + l'^ + w- ) «?T + g'p tpS 



OÙ tj, et t sont des nombres positifs que l'on peut faire aussi petits que l'on 

 l'eut en agrandissant p, et qui ne dépendent nullement du choix des fonc- 

 tions Uj, l'y, (l'y. 



Déplus, on aura toujours les inégalités suivantes : 



abs. I 5 I,, abs. | « |,, abs. | w |,, 



h"^;^^"- y//(9^+u^ 



(12") < , |-|2_ consl. fin. / / ,/i„ , , ,, , I 



où t est un nombre positif quelconque que l'on peut choisir aussi petit que 

 l'on veut, la constante finie ne dépendant que de la surface cr et de A. 



En appliquant, à l'aide de ce lemme, la méthode des approximations 

 successives au problème (i)(3), on trouvera les solutions en forme de 

 séries procédant par puissances du paramètre A, si \ n'appartient pas à une 

 suite de nombres K-^ satisfaisant à la condition 



(i3) ■ |X,|>i 



et ayant un point essentiel singulier à l'infini. 



On démontrera ainsi l'existence de triplets U-^, V^, W^, harmoniques 

 dans T et satisfaisant aux conditions limites 



\iy,~l.A — UxH -r- / ÏWx ^ / ^v — ' ••• a la surtace o-, 



\ 2TT oyj^ r 271 ôzj^ r j 



