SÉANCE DU 29 JUILLET I907. 3o3 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les représentations linéaires homogènes des 

 groupes finis. Note (') de M. de Séguier, présentée par M. Jordan. 



Le but de cette Note est d'apporter certaines simplifications à la théorie 

 de M. Schur (Cr., t. CXXVII et t. CXXXII) (^'). 



1. Soient y^ = j Z^,, .. ., b,„ a,, . . ., a^, a~\ . . ., aï' \ un groupe défini par 

 Bj(b)=aj(j = l, ..., m), b]' ai,bi= a^, A,(a) = i [B;(/>) et A,(a) étant 

 respectivement fonctions des b et des a] où les A,- = i se composent des con- 

 séquences A, =IIa"''' = i des ]:ij=^aj., bj' a^bt^ q^ entre a*', ..., a*' et 

 d'équations A, = i exprimant que a^,V|, . . ., al'' sont permutables à a^', . . ., 

 rt^/ ; Xo le plus petit commun multiple des a; X celui des élémenls d'ordre 

 fini de x„ (x ne dépend que de (j„ | Xo = F dont il est dit le multiplicateur ; 

 je supposerai F d'ordre N fini); x, un groupe d'éléments d'ordre infini tels 

 que Xo soit le produit direct de .1, par x,. Les équations A,_= i peuvent(^) 

 se mettre sous la forme a]' = . . . = a"/= i, a'^a'^^^ a\a'- (i^ j(r = i, ...,/m; 

 r5/n; Ji, ^ ] a'|, . .., a^| et l'on en déduit que l'on peut trouver des substitu- 

 tions linéaires Z»,, ...,«, vérifiant les équations de (|'a, a,, . .., «> étant des 

 similitudes (substitutions de la forme \kx^/cy,...\) de multiplicateurs 

 donnés vérifiant A,= i [un tel groupe de substitutions sera dit une hyper- 

 représentation de F appartenant au système (a,, , <ïm)] ^^ que le commu- 

 tant e de Cj'o contient A, et est premier à X, . 



Soient X^met(cequ'onpeut toujours supposer) B;= è'J'pour /=i, ..., v. 

 Coumie les équations de (j^ | e permettent d'exprimer B^ par les 6'/', les aj se- 

 ront dans j rt,, . . ., flv I ^^iD- Donc Xq jô) est fini et le rang wi — r de A,^ est^v. 

 Or considérons une hyperreprésentation de F répondant au système 

 (tr,, . . ., a,„) [o-y = By(T), les t étant des similitudes arbitraires]. Les a, vé- 

 rifiant les mêmes équations que les a (quand on regarde les b comme per- 

 mutables), peuvent s'exprimer comme eux par ttz — r indéterminées. Mais, 

 a, = T^', . . . , 0-^ = ':;j' étant arbitraires, m — rest ^ v. Donc m — r — y. Si l'on 

 fait a, = . . . = av= I, le groupe auquel se réduit ç^ est fini et contient X, 



(') Présentée dans la séance du 8 juillet 1907. 



(-) Je me servirai des mêmes notations que dans mes Eléments de la théorie des 

 groupes abstraits (Gauthier-Villars, 1904), auxquels je renverrai par la lettre E. 



(') En prenant la notation additive, cela revient à la réduction d'un système linéaire 

 (£".,205,207). 



