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car les équations a, = . . .= flv= i résolues par rapport à a^^,, ...,«'„, doivent 

 fournir exactement m — r^v relations de la forme a,*'= 'j, (a',, ...,a,',) 

 (î = r + i, ..., w). 



2. Soient A un diviseur de Xi G un groupe de commulaul C, tel que 

 G 1 A ^ r, A divisant le central de G : G sera dit une extension de F par A, 

 normale si C contient A (et alors si A^d,, G sera à\\, figuratif àe T : ainsi 

 (,'g| „i,, = y est un fii;uratif de F), antinormale si C est premier à A. Dans le 

 dernier cas, G a des équations de la forme 



g\' = -nilh Si§j — gjgi-fujKij(iJ = '^y ...,!7), éT' y/.' i', = •//,, ■ 



(y A- parcourant les générateurs de C, y],-, y],y étant dans A et "(,, ^,y, y^;., dans C) 

 jointes à celles de A, C et à celles exprimant que A divise le central de G. 

 En réduisant C à i, les ^ deviennent permutables; donc ^1,7= i. En rédui- 

 sant A à I, on a les équations de F; donc les X, sont déterminées quand les g 

 le sont mod C. D'ailleurs, les équations de G n'établissant aucune relation 

 entre les rj, (£., 17, 19), ils sont arbitraires. Or, en remplaçant g^ par 

 un élément de A^,-, y],- est remplacé par yIiÛ)"', G, étant quelconque dans A, 

 et le nombre des ç distincts se détermine alors aisément. 



3. Prenons pour F le g^», c'' = rf^ = c-p = i , g-' r/e = dc^ de = cd^ ec = ce 

 (p premier). ç„ sera défini (je ferai désormais X = m) par c''= a, f//'= ^, 

 €''= y], d^'cd = ca, e~*ce = cb^ e~^ de = dc'Ç et les équations exprimant que 

 a, ^, Y), 'C, a, èsont normaux. Les conséquences des équations de (J, entre 

 a, ^, y], "C, a, Z» se réduisent, en considérant leur forme typique (E.. 17) et le 

 groupe obtenu pour a = ^ = yj = 'Ç = j(E., 157, 150), k aP =^bP^= aî^^= i 

 si /?^ 2, à a = /> = a'C = I si /? := 2. Donc [j. := i si y» = 2. Si /j ^ 2, di est 

 abélien non cyclique d'ordre />-, et les figuratifs de F sont {E., 157) tous 

 les gp» de figure (i i) (i) (i i) pour lesquels l'invariant (lac. cit.) est égal 

 à I. On traite de même le cas où F est le diédral général ou un de ses figu- 

 ratifs, et l'application au g,,,., de Hesse est immédiate. 



4. Supi)osons F abélien et ii!>y = «y de la forme by = «y poury'^v et de 

 la forme ^^' bib/,b~/^ = a^i (en mettant O/^i pour aj) si y > v. Des équations 

 de la seconde forme on lire a^y= i, 0^7 élant le plus grand commun divi- 

 seur de Çi,, qi. D'ailleurs les conséquences des i)l)y = Uj entre les a ne peuvent 

 contenir que lesa^/(/i., 17) et, en faisant a, ^ . . . = av= i et en adjoignant 

 successivement è, , . . . , i,, au groupe 4/ défini par rt^y = i , «av^av = o.ia'^kii 

 on a un groupe d'ordre Nno«(£'., 19). Donc A: = A.{E., 18) et \i. = nôw 



5. Considérons le pi'oduit direct de F par un groupe F' (pour lequel P^., 

 Z»A, ..., fj„, ... seront remplacés par [3^, Z*^, ..., ç',,, ...). Soi l îCo le groupe 



