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dont l'intégrale générale est uniforme; n est un entier positif ou négatif, ou 

 bien n est infini; h et c sont des fonctions algébriques de y. 



Pour « = — 2, /> = o, les fonctions uniformes définies par l'équation (i) 

 sont les fonctions aulomorphes . Dans tous les autres cas, où l'intégrale 

 générale de (i) est uniforme, elle peut, d'après un théorème énoncé sans 

 démonstration par M. Painlevé, s'exprimer à l'aide des transcendantes de 

 la théorie des fonctions elliptiques ou de leurs dégénérescences. Je me pro- 

 pose, dans cette Note, de donner la forme expHcite de l'intégrale générale, 

 en me limitant au cas où les coefficients 6 et c sont rationnels. 



Pour étudier l'équation (i) on la remplace par le système 



^ ' dx dy- dy n 



En un point ordinaire de b et c, les intégrales de l'équation linéaire du 

 second ordre appartiennent à l'exposant zéro, sauf une qui appartient à 

 l'exposant i. Toutes ces intégrales donnent pour y des fonctions uni- 

 formes dans le domaine correspondant au domaine de la valeur de j consi- 

 dérée, sauf, dans le cas de « = — 2, la dernière; l'unifonuité de cette 

 dernière intégrale exige 6 = 0. 



Ainsi donc, pour n= — 2, nous n'm'ons comme fonctions uniformes que 

 les fonctions automorphes ou leurs dégénérescences. 



Considérons maintenant un poie de b et c. Ce pôle doit satisfaire aux 

 conditions de Fuchs pour l'équation du second ordre. Les racines /•, et /j 

 de l'équation déterminante fondamentale doivent être de la forme 



« -h I / I \ n + 1 { I 



N, et N2 étant des entiers positifs, négatifs ou infinis ; et de plus, si r.,'^ r,, 



etsiN, est fini, ^^—ti |i_ ^1 doit être encore un entier. Si la différence 



f^ — r, est un entier ^ o, il ne doit pas y avoir de logarithme dans les inté- 

 grales de l'équation linéaire; si enfin ^o = r,, le nombre N, = N, correspon- 

 dant doit être infini. Il faut appUquer ces conditions à chaque p(Me, puis au 

 point y = 00, et l'on trouve alors que le nombre des p<Mes, qui dans le cas 

 des fonctions automorphes n'est pas limité, est limité dans tous les autres 

 cas : son maximum est 4 si « :^ i , et 6 si n = i . 



Les intégrales générales se divisent en deux catégories. On est conduit à 

 la première en généralisant la forme de l'intégrale générale des fonctions 



