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SÉANCE DU 29 JUILLET 1907. 807 



automorphes : p— jr =/(y)- La fonction v déflnie par l'équalion 



(Aa- + B)"+'H-C = /(r), 



A, B, C étant trois constantes arbitraires, satisfait à l'équation différen- 

 tielle 



V nj y' ,1 f'(y)-^ - f'-{y) 



et la fonction définie par l'équation e*' ■^''+ C =/(y) satisfait à cette même 

 équation où l'on rend n infini. On doit donc trouver ces fonctions comme 

 intégrales générales uniformes, chaque fois que dans l'équation z- ^/(y) 

 y est fonction uniforme de s, et que, en outre, les coefficients b et c déduits 

 de la fonction / sont rationnels en y; c'est-à-dire quand y est l'une des 

 fonctions uniformes avec lesquelles Briot et Bouquet ont intégré l'équation 



cl\'\ '" 1 > • 



-^ \ — K(7), m étant un entier positif et K un polynôme, y est fonction 

 rationnelle do z, ou de e", ou hien fonction elliplique de z, 



i = (Aa--r-B)" + '-(-G. 



Comme pour les fonctions automorphes, il suffit d'avoir une intégrale pour 

 en déduire l'intégrale générale. 



La fonction j définie par les équations 



^)-(.r-«)(r-6){j-.)(,r-./), = =(,---j-^ + __^, 



qui pour \^= ^ est une des précédentes, vérifie aussi une équation de la 

 forme (i), et elle est uniforme si 11 a l'une des valeurs 1, ±; 2, oc et si 2/-X 

 est période de z. Pour n ^= — 1, z' est fonction rationnelle de Aa;-+-B; 

 n = a:, fonction simplement périodique de A.r-|-B; « = i, 2, fonction 

 doublement périodique. Dans tous ces cas, s' a des pôles simples de rési- 

 dus À; y sera donc fonction elliptique d'un logarithme; les zéros et les pôles 

 de ce logarithme seront pour y des points singuliers essentiels. 



Ces points sont mobiles, car .r ne figure dans l'intégrale que dans l'ex- 

 pression \.r -t- B : quant à la ti'oisième constante, elle s'ajoute à l'argument 

 de la fonction elliptique y de z. Dans le cas où cette fonction elliptique 

 dégénère, les équations 



dy\- , , „, / ' i -" " + ' =" 



