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définissent une fonction uniforme pour /?= i, ± 2, ce et N entier; mais 

 c'est une fonction rationnelle, simplement ou doublement périodique, 

 de Kx + B. 



Une seconde catégorie d'intégrales générales uniformes est obtenue en 

 considérant les équations 



y '2 = A(fl(,j'-+- «1 j' -)- «•> J^-H «:,_>• + r/j) + \i{b^,y'' -(- ft,/^ ^_ /,^ j2 _,_ i,,^y _j_ ^^)_ 



3. 

 /'■^ rrACaoj'+fl'iJ^+rt^j -H 03)+ B(A„j3_^ ^ij'+ 6-27+ ^3), 



J'^ :=:/=(Aj + B), 

 =:A7+B, 



(3) 





qui sont une forme de celles de Briot et Bouquet. Ces équations définissent 

 des fonctions uniformes et qui, si A et B sont des constantes arbitraires, 

 satisfont à des équations différentielles de la forme (i), où « a respective- 

 ment les valeurs : i, 2, 3, 5, 00, n. On doit donc retrouver toutes ces fonc- 

 tions comme intégrales générales uniformes. Mais il arrive que, si l'on fait 



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 sur l'équation en j'ie changement de fonction r = s^, N étant entier, l'équa- 

 tion en z obtenue, qui est toujours de la forme (i), ait ses coefficients ra- 

 tionnels en z. On trouve ainsi, avec les fonctions définies par les équa- 

 tions (3), des fonctions telles que, par une, deux ou trois Iransformations 

 successives y — a=^ {y — ^) -'', z — a' -= (^z — h')t^., . . . , on arrive à des 

 fonctions z, if, ..., définies par une équation (3). On voit apparaître une 

 catégorie d'équations de la forme (i) mais à coefficients, non plus ration- 

 nels, mais algébriques, qui s'intègrent comme les précédentes. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équations différentielles du troisième ordre 

 dont l'intégrale est uniforme. JNote de M. Re.\é Garsier, présentée par 

 M. Painlevé. 



Soit une équation différentielle du troisième ordre : 



(0 y"=H(,v",/,j,^') 



(R, rationnel en y\ y'). M. Painlevé a démontré i^BuU. de la Soc. math., 

 t. XXVIII) (pie l'absence de points critiques mobiles pour l'équation (i) 



