SÉANCE DU 29 JUILLET 1907. ^ioçj 



entraîne l'uniformité de l'intégrale d'une équation de la forme 



-(2) f"={^-^)Ç + '^^y)y'ï'~-;rh''^y^y"' 



que l'on déduit de l'équation (i) et qu'il appelle la simplifiée de l'équation 

 proposée. (Le nombre n désigne un entier positif, négatif ou infini, mais 

 différent de o et — i.) Je me propose, dans cette Note, en me limitant au 

 cas où è et c sont rationnels en y, d'intégrer explicitement l'équation (2) 

 quand son intégrale générale est uniforme. 



Je vérifierai aussi, conformément à un théorème énoncé sans démonstra- 

 tion par M. Painlevé, que celte intégrale se ramène aux fondions auto- 

 morplies ou dégénérescences. 



On sait qu'on peut substituer à l'équation (2) le système 



dx — „ . . 



(4) ,/'_i(y),,'+c(j)'' = 0, 



où les accents désignent des dérivées par rapport à y. 



Je montre tout d'abord que les intégrales de l'équation ii\) doivent être 

 régulières au voisinage de tout point singulier a,- de l'équation, y compris le 

 point à l'infini. Les racines de l'équation fondamentale déterminante (e,), 



relative à o,, sont de la forme (i-i--)(T-f- — j et (i+^)(i + 7:)' '"< 



et/*,- désignant deux entiers. S'ils sont égaux, leur valeur commune est Fin- 

 fini; sinon, les produits de la différence des racines par w, et/>, sont entiers. 

 11 s'introduit ainsi une équation (E), à résoudre par entiers, qui joue un 

 grand rôle dans la question; elle fait connaître l'un des entiers a?i, et/?, en 

 fonction de l'autre et de /i; et l'on achève, en général, de déterminer les m^ 

 en étudiant une seconde équation d'arithmétique introduite par la consi- 

 dération de la fonction hi^y) dans le domaine du point à l'infini. En 

 général, on trouve ainsi un nombre limité de formes possibles pour les 

 coefficients ^(7) et c(j). 



11 y a une seule exception : pour « = — 2, on doit avoir è(y)^o. C'est 

 le cas des fonctions fuchsienncs et kleinéennes de genre zéro. La considé- 

 ration du point y = 30 montre selilement que c(y) a la forme bien connue 

 dans la théorie des fonctions automorphes. 



Lorsque n a une valeur arbitrairement choisie, la résolution de (E) 

 montre que, pour chaque (e,), la différence des racines est l'inverse d'un 



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