3 II) ACADÉMIE DES SCIENCES. 



cnlier; y est une fonction uniforme du rapport z des intégrales de (4), la 

 fonction ,y(-) vérifiant une équation du type de Briot et Bouquet : -r^ = ^(y) 



(p désigne la racine d'un polynôme) et z s'obtient par la relation 



:; =:(Ca;+ C')"+ C", qu'il faut remplacer par r- = e" '^•^ + C", pour n 



iiilini. Soit encore A(y) = ^ V ' ; l'équation (/|) s'écrit 



(5) i^(..) = .'"-(. + ^)Ar + (r+i)(^-v)..^o. 



Eh conservant pour (l^^) la solution dont il vient d'être parlé, on obtient 

 encore pour « = — 2, i, 2, oc, des équations (4) ne rentrant pas dans le 

 type (5); ce sont les équations 



Ici, p(y) désigne la racine carrée d'un polynôme du quatrième (ou troi- 

 sième) degré, premier avec sa dérivée, et co représente une période de la 



fonction elliptique Y = f(u) définie par l'équation l'-f-) =/(,v)- Pour 



n = — 2, la fonction y(x), ainsi obtenue, est bien connue. l'Jitre bien des 

 formes possibles pour les intégrales, on peut clioisir les suivantes : 



V = tp ( « + C ) 

 et 



« = - ai'c lang(A.r + B) («=—2); « = -^ arc cosp( Ao? -t- B ; 4,o) {«— i); 



'/ = — arc tangr"^-^+" (n = cc); « 1= -^ arc cos[p(A.r + B; o,/f)] * (« = 2). 



Dans le cas de /i = oo, 3, 2,1, l'équation (1^) admet d'autres solutions 

 qui introduisent un grand nombre de' formes possibles pour (4). Je me 

 borne à un résumé sommaire. La différence des racines de (e,) peut être un 

 entier, non nul; mais alors l'intégrale de (4) ne présente pas de terme 

 logaritlunique dans le domaine de («,). Cette circonstance est importante 

 dans la discussion des équations (4)- Posons 



b(v)= > — '■ et c(r) = - — -^-^ -h > '- : 



on peut supposer, pour réduire le nombre des équations à étudier, que 



