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senlée que s'il existe, entre les coefficients, R relations 



R =: (/?) H- l) (« + l) (yO + l) — 3(7« + « +/>) -t- I. 



2. On peut déduire les systèmes w, c ou les trois systèmes d'un sys- 

 tème m', en remplaçant ii! par des fonctions rationnelles de ?<, de r ou de kv\ 

 l'équation qui représente l'abaque peut être divisée par un ou trois facteurs; 

 ce sont des solutions étrangères à l'équation simplifiée. Une équation de 

 degrés («z, /;?, ^j) peut être représentée en introduisant une solution étran- 

 gère de degrés (i, i, o); une équation de degrés (?«, w, w), en introdui- 

 sant trois solutions étrangères de degrés (i, i,o)(o, i, i)(i,o, i). Le 

 nombre de relations est diminué dans le premier cas de L\ — 3/» et dans le 

 second cas de 8 — 6//?. Les équations qui peuvent être représentées en 

 introduisant des solutions étrangères de degrés (/>, A', o) sont susceptibles 

 d'abaissement. 



3. Les équations de degrés (i, i, i) et (i, i, 2) peuvent toujours élrc 

 représentées. Nous avons résolu ces cas en 1884 ('). 



4. Abaque sans solution étrangère. — L'équation donnée doit pouvoir se 

 mettre sous une forme linéaire et homogène par rapport à trois fonc- 

 tions M, N, P de (^^, r), ce qui exige que R' déterminants de 4" éléments 

 soient nuls 



R==(/j-2)[(;» + .)(« + .)-3]. 



On trouve ensuite R" déterminants, de V éléments, égaux à zéro. Enfin, 

 mn proportions, entre des déterminants ou des produits de délerminants, 

 complèlent les R relations nécessaires et suffisantes. Les valeurs critiques 

 correspondent aux droites communes à deux systèmes. 



5. Abaque avec solution étrangère. — L'équation linéaire en M, N, P pciil 

 toujours être représentée par un abaque comprenant un système île 

 droites w et un réseau de lignes représenté par les équations 



M "IN ~ p" 



On trouve les équations des lignes u ou r en éliminant c ou u. C'est celte 

 élimination qui introduit les solutions étrangères ('20.5, 206, 207, loc. cit.). 

 Lorsque le réseau est curviligne et que la courbe u coupe la courbe v'cn 



(') Mciiiiiirc sur l'inté^ralion ^r>f/i/ii//i(c, n"' 177 à 207 (A/i/iales c/cs Ingèinciirs 

 de Gaïul, iS83-i884). 



