SÉANCE DU 29 JUILLET 1907. 3l3 



plusieurs points variables, on introduit des solutions étrangères contenant 

 les trois variables. 



6. Abaque contenant trois solutions étrangères des degrés (1,1,0) 

 (0,1,1) (1,0,1). — Considérons un système de droites de degré m+ 2 par 

 rapport à u. En un point du plan, on trouve m-\- 2. valeurs de u ; prenons 

 trois valeurs pour u^ r, »■; on représente ainsi une équation de degrés 

 {m, m, m) symétrique par rapport aux trois variables. Pour représenter de 

 cette manière l'équation générale de degrés (m, wz, /n), on doit d'abord la 

 rendre symétrique par deux transformationsbilinéaires effectuées sur*' et w. 

 Les conditions de possibilité et les paramètres des transformations s'expri- 

 ment au moyen de déterminants de (/« -1- i )- éléments. On obtient les 11 

 conditions nécessaires et suffisantes en ajoutant, aux précédentes, les R' con- 

 ditions qui permettent la représentation de l'équation symétrique 



[m + \ ) m { m — i \ 



i\ = -, • 



1.2.3 



Les valeurs critiques correspondent aux droites doubles du système u. 

 La surface, qui représente ré({uation en coordonnées cartésiennes, contient 

 un hexagone de droites pour chacune des droites doubles du système u. 



7. Abaques à lignes mobiles. — La transformation de contact, appliquée à 

 un abaque ordinaire, introduit une ligne mobile; l'abaque n'est pratique 

 (jue si cette ligne est invariable. Pour ce motif, nous avons, en 1884, for- 

 mulé de la manière suivante le principe des abaques à mouvement : on trace 

 sur un plan les lignes w, sur une feuille transparente mobile les lignes u, 

 sur une autre feuille transparente mobile les lignes v. On met ainsi en rela- 

 tions les variables («, «,, u.,, u.^ ; t', *',, r^, ^3 ; w). On augmente encore le 

 nombre des variables par les abaques accolés ( 186 et 187, loc. cit.) On peut 

 aussi diminuer ce nombre en égalant des variables entre elles ou à des con- 

 stantes. Lorsque u et v sont constants, les feuilles mobiles se réduisent à des 

 lignes invariables ; nous les supposerons droites. 



8. SYStéme(u^, u.,\w). — Une droite {u,,u.,) passe par un point u;\ 

 l'abaque est la figure réciproque d'un précédent : une droite ir passe pai' 

 un point (u,, u.^) d'un réseau. 



9. Système (»,, «., ; f,«^). — Une droite («,,Wo) passe par un point (c, »•") 

 d'un réseau de lignes. Toute équation à quatre variables peut être repié- 

 scntée de cette manière, quand on peut la rendre linéaire et homogène par 

 rapport à trois fonctions de deux des variables. Exemple : l'équation de 

 degrés ( r, i, i, i) peut être représentée moyennant une seule condition. 



