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et cette valeur maxima deW\ est atteinte pour l'équation 



a„( I + -; 



Nous appuierons la démonstration sur une conséquence que l'on peut 

 tirer d'un théorème de M. Schwarz ('). 

 Soit 



f{z)=zK{z- z,Y'(z- z,r^. ..(z- .-„)«». 



Considérons une racine Z de l'équation /'(:■) = o différente des 

 nombres z,, s,, ..., z„; on obtient immédiatement, en considérant l'ex- 



f'(z) 



pression -^ " , 



a, a., a,, 



— -1 + -;2- So + . . . H 7T -3;, 



y ^J '_2 ^ H 



,. 2 ,. 2 ,. 2 



ou 



;•,= \Z — Zi\ {i=i, 2, .. ., n). 



Z est par conséquent le centre de gravité des masses positives -^ concentrées 



au point s,- et se trouve donc à l'intérieur de chaque figure convexe conte- 

 nant ces points. Toutes les racines de /'{:■) = o jouissent donc de la même 

 propriété. C'est là le théorème de M. Schwarz. On en tire le corollaire que 

 la valeur absolue de la plus grande racine de ,/(=) ne peut pas être moindre 

 que celle de la plus grande racine de f'(z) = o. 



Posons maintenant dans (i) j:= -; on aura, en prenant par exemple 

 /t = 3, 



«0 s''. -+- a^z^'>-'< + «2 ^''3-^ -t- «3 = o. 



La plus grande racine '( = - sera, d'après notre corollaire, au moins égale 

 en valeur absolue à la plus grande racine de la dérivée 



V3ao-~''~'+ (V3— v,)fl,3''ï-^-'-)- (vj— V2 ) a.2 ;''.^''.-' = o 



ou à celle de 



V3 a„;^+ (V3 — V, )rt, ^^-^ 4- (vj — V2) «2 — o. 



(') Je dois à M. J.-O. Muller d'avoir alliré mon attention à propos de la question 

 présente sur ce théorème, que M. Scliwarz traite d'ordinaire dans son enseignement. 



