584 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



i.a (]iiesli(jn suixaiitc se pose : 



Lorsqu'une série trigonomèlrique divergente est sotmnahle pur une autre 

 méthode {par exemple par la méthode bien connue de M. Fejér) et sa somme 

 s'annule dans tout l'intervalle (o, 27:) {sauf peut-être en certains points excep- 

 tionnels), peut-on en conclure encore que tous ses coefficients s'annulent? 



Au premier moment il paraît que la réponse sera négative. En effet, 

 M. Fejér a donné un exemple simple, la série 



h COS^ -\- C0S2^ +. . . 



2 



dont la somme esl nulle en chaque point, excepté les points o et 2u (' ). 



On a pourtant les théorèmes : 



Une série trigonométrique, dont les coefficients a„ et />„ sont tels que la 

 série 



(A) 2 



I fi,. I + I h„ 



converge (^) et dont la somme s'annule sans exception en tous les points de 

 V intervalle {o, 211), a ses coefficients nuls. 



Les coefficients de la série tendant rers o avec -, le théorème reste encore 

 -" Il 



exact lorsqu'on admet un ensemble réductible de points exceptionnels. 



M. l'ejcr a généralisé le lliéorème de Rieniann par le tliéorème suivant (') : 

 SoLt j«„+ ia„ coiiijc + bn nnnx une série trigonométrique qui est sommable au 

 point .V pur le procédé de la moyenne arithmétique el y donne la valeur f(jc). En 

 intégrant quatre fois terme à terme, on parvient à une série uniformément conver- 



(') C'élail M. Fejér lui-même qui a bien voulu attirer mon attention sur ce sujet. 

 (^) Donc, notre théorème subsiste s'il existe deux constantes c et a (où a<i), 

 telles que 



I a„ I et I /'„ I < c««. 



D'ailleurs, il résulte d'une remarque de M. Fejér [Untersuchungen iiber trigononi. 

 Reiheii {Matli. Ann., t. LVIII, p. 63)] que pour les coefficients d'une série trigono- 

 métrique sommable, dans un intervalle, on a 



(/„ . b„ 



lim — =^0, lim — =; o. 



n — an II /t ^ x> n 



On voit donc les séries ])0ur lesquelles notre théorème est douteux. 

 (^) Fejéh, toc. cit., p. 68. 



