SÉANCE DU 7 OCTOBRE 1907. 585 



getite F(.c) poui- laquelle on a 



,. F(.r4-4/O-4F(.i' + 2/O + 6F(.r)-4F(^-2/0-+-F(^-4/0 



im -T-r, 



/, = « i^li' 



li m 1 - «g + Zj ( '^'' ^'^^ "■ ■- 



L n=l 



,. 1 . -v' / ; ■ - l'sJnn/i \* 



; Il m I - «„ + > ( ff„ cos nx + «„ siii « j 



Il h 



-A^)- 



Nous allons généraliser maintenant le théorème de M. Schwarz et cette 

 généralisation, jointe à ce théorème de M. Fejér, fournira la démonstration 

 de notre énoncé : 



Une fonction continue F(a") admettant en tout point d'un intervalle une 

 dérivée seconde généralisée continue {' ) et une dérivée quatrième généralisée 



0(.r) = lim- 



,. F(^+ 2/0 — 4F(x-)-/0 + 6F(a-) — 4F(.r — /() + F(.r — 2/O 

 r=: lim 



h=o 



h' 



A' F( r ) 

 la quantité .^ ° est comprise entre les limites inférieure et supérieure de <I) 



dans Vintervalle (,c„ — 2 A, a\ + a/; ) (I). 



On démontreia d'abord le lenime suivant : 



La dérivée quatrième généralisée d'une fonction satisfaisant aiij- co/irlilions 

 énoncées est positive ou nulle en tout poi/ti oii la dérivée seconde a an niininuiin, et 

 négative ou nulle en tout point correspondant à un maximum. 



Pour la dénionstr.itioii on se servira du théorème suivant de M. Hôlder (-) : 



5/ une fonction continue /{x) a en tout point une dérivée seconde généra- 

 lisée tp (./'), la quantité 



A\/(.n,) _ /(.r„+/0-2/(Xo)+/(.r„-/0 

 h' lis- 



sera comprise entre les limites inférieure et supérieure de cp en {.r^ — /(, .r„H- /;). 



Ayant démontré notre lemnie nous considérons la fonction F(,r) aux points x,, — nh, 

 Xi) — /i, Xfi, x^-'r h, XD-\-2h. Alors il existe un polynôme de quatrième degré P(.ï') tel 

 que F(a;) — P(oC) =r o pour les cinq points considérés. Un calcul élémentaire donne 

 que P{x) doit être de la forme _ 



F(.,.) — ^lI^L^j;i^ax^-h bx-'+cx + d. 



(') De la continuité il suit que c'est une dérivée seconde au sens ordinaire. 



(') Hôlder, Zur Théorie der trigonometrischen Reiken {Matli. Ann.,t. XXIV, 

 p. i83). — Voir aussi : Lebesgle, Sur les séries trigonométriques (A/in. de l'Ecole 

 Norin., 1908, p. 458) et Leçons sur les séries trigonométriques, p. 6. 



