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La dilTérence F(x) — P{x-) a au moins deux maximums et deux minimums entre 

 ■To— 2h et ^0+ 2/1; de plus deux points correspoiidanl i\ un maximum sont toujours 

 séparés par un point qui donne un minimum et inversement. A un maximum corres- 

 pond une valeur négative ou nulle et à un minimum une valeur positive ou nulle de la 

 dérivée seconde F"(a;) — P" (a^). Donc celte dérivée a au moins un maximum et un 

 minimum à l'intérieur de l'intervalle (j:-»— 2/1, x„-|- ■>/>) et de ce fait joint à notre 

 lemnie on conclut aisément notre théorème I. 



On a comme cas particulier une généralisation immédiate du théorème 

 de M. Schvvarz. 



Toute fonction continue elle-même et admettant une dérivée seconde con- 

 tinue (') et une dérivée quatrième généralisée partout nulle est un polynôme de 

 troisième degré. 



De plus des théorèmes analogues peuvent se démontrer pour d'autres 

 dérivées généralisées. 



De notre énoncé on déduit, comme le fait M. Lebesgue dans un cas ana- 

 logue, les conséquences suivantes : 



Si, pour les coefficients a„ + ih„ d'une série de Taylor la somme V ' "" "^^ ''" * 



converge et la partie réelle (ou imaginaire) de cette série est sommable sur son 

 cercle de convergence par la méthode de M. Fejér. la partie réelle (ou imagi- 

 naire) de la série à l'intérieur du cercle reste comprise entre les limites inférieure 

 et supérieure des valeurs prises sur la circonférence. 



Lorsqu'une série trigonométrique toujours satisfaisante à notre condition ( A ) 

 est sommable en tout point de l'intervalle (o, 2u) et y donne une fonction 

 bornée f{x), elle est série de Fourier de la fonction fÇr) (la notion d'inté- 

 grale étant prise dans le sens de M. Lebesgue). 



Ce théorème, généralisation du théorème de Dubois-Reymond, comprend 

 comme cas particulier notre généralisation du théorème de M. Cantor. 



Le cas des coefficients tendant vers zéro, oiï l'on peut admettre des points 

 exceptionnels, ne comporte aucune difficulté, car en tout point on a 



lim,^A^F(^) = o. 



(') La fonction égale à x- pour des valeurs ,î;^o et à — x^ pour des valeurs x<Co 

 montre très nettement que notre restriction concernant la continuité de la dérivée 

 seconde est nécessaire. 



