SÉANCE DU l4 OCTOBRE I907. 6l5 



Considérons maintenant une autre couronne F formée de cercles T' et F" 

 de rayons p'>p". Soit /(^) une autre fonction uniforme holomorphe 

 dans F. J'aurai pour /(?) une formule identique à (i) aux notations près et 

 je poserai 



Or (loc. cit.), avec les hypothèses | ^ | <:^ p', | ^ j; | <; r'p', on a 



(^) 1<'^'^=(^. 





Avec les hypothèses | ^ | > p", | ^.r | >> r" p" et par un calcul analogue on a 





/- /^ F(z)/a)dzd>; 



'«-<)(-f)' 



Supposons pour simplifier que F (a;) n'ait, à l'intérieur de C", que des 

 pôles simples a'^ avec des résidus AjJ. En vertu des hypothèses précédentes, 

 ^x'.'C est toujours dans C s'il s'agit de (2), toujours hors de C" s'il s'agit 

 de (3). On a alors 



n=0 k U — Ç) I «A— -5- I 



l---~.=^Xl 



KAK)dz 



Donc 



y"e' ,' _ yV ,■■ - J_ r F ("if^ /^^^^^^ + -i- r V -^^z^^)^^^ 

 ^ "" 2-'^''^''-..,,X,^U; ?-^ +2,-^j,2- . ,.^N' 



formule dans laquelle il faut bien remarquer que la première intégration 

 est relative à la simple circonférence F' tandis que la seconde est relalice au 

 double contour de la couronne F. 



Intégrons par rapport à 'Ç. L'intégrale relative à F' est égale à 





t X ^ i-v, 





