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conservent la même valeur pour toutes les formes canoniques d'un même 

 système et, par conséquent, sont des imnirianls. 



Les équations d'invariance ainsi obtenues donnent la réponse complète 

 à la question posée. Mais on peut aller beaucoup plus loin. 



Si l'on introduit des nombres fondamentaux fictifs a,'„, a,-„, ..., a^, qui 

 sont seulement assujettis à avoir une somme égale au nombre des con- 

 stantes arbitraires qui, en plus des fonctions arbitraires, entrent dans l'inté- 

 grale par application du théorème de Cauchy généralisé, on peut démon- 

 trer l'existence d'un {m -+- i)'""'»" invariant de même forme 



p p p p ' 



11 11 



Les m ■+- I équations d'invariance font non seulement connaître les sys- 

 tèmes initiaux relatifs aux formes canoniques obtenues grâce au change- 

 ment de variables, mais elles en font connaître aussi d'autres. 



On montre cpie les I sont encoi-e invariants pour une transformation 

 ponctuelle quelconque du système et qu'une telle transformation linéaire 

 indéterminée permet d'atteindre toutes les formes canoniques qui corres- 

 pondent aux diverses solutions des équations d'invariance. 



Ces équations d'invariance reçoivent ainsi leur signification complète et 

 l'un des résultats qu'on en déduit immédiatement est cjue le nombre des 

 formes canoniques distinctes d'un même système différentiel est toujours limité. 



Les invariants I permettent d'établir des formules intéressantes et de 

 démontrer rigoureusement certaines propriétés. Ils jouent un rôle impor- 

 tant dans la transformation des systèmes différentiels. Je me bornerai ici à 

 citer les propriétés suivantes : 



1° Supposons un système différentiel S ordonné, c'est-à-dire décomposé 

 en groupes S„ dont toutes les équations sont d'ordre n, distinctes par rap- 

 port aux dérivées d'ordre n et telles que toute dérivée d'une équation S„_, 

 soit une conséquence algébrique des équations S„, S,,,, .... Un démontre 

 que le nombre des équations d'ordre égal ou inférieur à n est 



N„=/> — I„,— (?o(— ")(/' — I™-i)—- ••—?«■ 1 (—")(/' — 'o)i 



pourvu que n soit égal ou supérieur à l'ordre d'une forme canonique du 

 système. Il existe donc un polynôme V(:-) associé au système S, d'ordre égal 

 au nombre des variables et tel que 



N„=P(«) 



pour toute valeur de n supérieure à un certain nombre fixe. 



