(320 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Je remarque d'abord que de l'équation (i ) on tire 



(2) p{x)r^[x)- lJ'F{.r,y)ci,{y) ,/y =p{.r) ^{x), 



OÙ la fonction F(j-, y) = p{x) p( y) f{x, y) c^l symétrique en x et y. (Dans 

 cette formule et dans les suivantes les limites a et i des intégrales sont sous- 

 entendues.) 



Ensuite, si \., \ sont deux pôles (ou autovaleurs) (Kigenwerte, suivant 

 M. Hilbert) de l'équation (i), et 9,(a:), ©.(a?) deux autofonctions corres- 

 pondantes (Eigenfunctionen, suivant M. Hilbert), on a 



lj{.f)or{.r) — l, I F(^,7)ci,,.( ,-)^/v = o, 

 p{a;) CBs{.z-) — '/.s j F(-y,/) 9.<(/)f(r = o, 



d'où, multipliant ces équations respectivement par 'k,'^,{x)dx et Arf,.(x)dx, 

 puis intégrant et retranchant, 



{l,— }.,) / p{x) (ii,.{x) o,(x) du- = o, 



donc, si Xr e^/ différent de Aj, 



/ /'(.r) 9,-(a-) 9_<(.<') dx r= o. 



De cette égalité on déduit que les pâles sont réels; car, dans le cas con- 

 traire, en prenant les pôles (imaginaires conjugués) 



>i,.=: a + /(3, >,j=a — «(3, 



et les autofonctions correspondantes (nécessairement conjuguées) 



<p,.(a;) — (f'-h ito" <?s{x) = <p'— if, 



ne serait plus v('rilié(' Fégalité précédente. 



L'existence effective des pôles peut être prouvée par une méthode ana- 

 logue à celle employée, par exemple, par M. Kneser, dans le cas où 

 p{y)=z i ( Hendiconfi del Circnlo matematiro di l'alermo, t. XXII, 1906). 



