SÉANCE DU l4 OCTOBRE 1907. 62 I 



2. Il est facile de voir que les pôles sont simples ( ' ). 



Supposons, en effet, que X = X,, soit un pôle d'ordre m{m'^i) de la 

 solution de l'équation (i); on aura 



donc, en substituant dans l'égalité (2), 



pi, + (>. _ >.„)^i. +. . . _ i Cf. lu + (>. - >,,)r +. . .] f/v = (X - >.„)'" />4'. 

 et dérivant par rapport à A : 



(3) pv-h...-l f'F.{i- + ...)dy- ^F. [»-(-().-).„)(•-+-...] «y ='«(>.->.o)"-'/'|. 



Si l'on pose A = A„, on tire de ces deux équations 



(4) pi.Jc)u{x) — \l¥{x^y)ii{y)dy = o, 



(5) p{x)v{j:)-l,j'¥{j:,y),-{y)dY=j'¥{x,y)u{y)dy = ^^p(x)u{x). 



Multipliant ensuite l'équation (4) par vi^x^dx, l'équation (j) par u(x)fix, 

 puis intégrant et retranchant, on a 



fp{.r)[u(.v)Ydx = o. 



La fonction u devrait donc être identicjuement nulle, ce qui est absurde. 

 Notre théorème est complètement démontré. 



De l'égalité (3) il résulte que le calcul précédent ne s'applique pas 

 à m = I . 



Il est bon de remarquer que le pôle A =^ A„ peut être racine multiple 

 d'ordre quelconque pour le déterminant de l'équation (i), tandis que pour 

 la fonction ©(^r) il est nécessairement un pôle simple. 



Le théorème analogue pour les systèmes d'équations linéaires algébriques 



(' ) Comparer cette démonstration avec celle que donne M. Picard dans le cas parti- 

 culier des membranes élastiques dans le paragraphe 50 de son Mémoire des Jieiidiconti 

 di Palenno (1906) : Sur quelques applications de l'équation fonctionnelle de 

 Fredholin. 



