SÉANCE DU 21 OCTOBRE 1907. 655 



veloppement est lO-A, ('-tant posé 



où F(n) est le nombre des classes de formes de l'ordre propre ayant pour 

 discrimant n. Le calcul direct du terme constant dans la multiplication indi- 

 quée ci-dessus donne 



Â'5^ = V/"^ ^(_,)P.+P+I(4,j,_2)j, 



N=0 



la dernière somme s'étendant à celles des solutions entières m, u., p de 



l'équation 



4N + 3 = 4;«-- (2|jr. — 1)2+8 /«p, 



qui vérifient les inégalités w^i, p^o, l'SiJ.'lrn. 



Le calcul de la somme en question s'elTeclue sans trop de difficultés; on 

 trouve ainsi 



1 



(m,-l) 



où la dernière somme s'étend aux classes propres de discriminant 4N + ^'1 

 m, et m.^ (f^f^m.,) sont les deux minima impairs d'une quelconque de ces 

 classes. De là résulte immédiatement la relation 



(0 _2f(/;n + 3-4v)(-.)V'(v) = ^(-')"2]("'^~"'')^-'^'' '"• 



Au premier membre, la somme porte sur les valeurs entières de v, à 

 partir de v = o, telles que 4^* + 3 — '\v soit positif; /(v) désigne le nombre 

 de représentations de v par la forme x"^ +y', c'est-à-dire 



Av) = 4E(- 



n - , 



d désignant tout diviseur impair de v; y(o) = i. 



Si l'on utilise l'expression de A G trouvée par Hermito (^Lettre à Lioimtlc), 

 on peut écrire (i), en désignant par ij^(«) la somme des diviseurs de n infé- 

 rieurs à \[n, 



(2) 1 2(„,_,_ ;„,) (_ ,y^""'-"=_2|(4N + 3-4a-2), 



