656 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



X prenant, au second membre, les valeurs entières, positives ou négatives, 

 telles que 4^ + 3 — 4^^ soit positif. 



En opérant de même sur yj';;0, OIITI, : 0" et 0,0,11:11,, on obtiendrait 

 l'expression de A y], 0, ce qui conduit à la formule 



(3) 2 F(4N ^ 4v-î)(- 1^/(4^ + =21 "^^-'^""^ • 



La somme, au second membre, s'étend cette fois aux classes propres de 

 discriminant 4^; fn^ et m^^m^'^m^) sont encore les deux minima impairs , 

 m est le minimum pair d'une quelconque de ces classes. 



On peut écrire aussi 



/n 1 -f- /n ., 



Les formules (3) et (4) sont intéressantes en ce qu'elles donnent l'expres- 

 sion, à l'aide de la seule fonction 'j/, des sommes algébriques de minima qui 

 figurent à leurs premiers membres. 



2. On obtient, d'une autre manière, des formules analogues à (i) et (3), 

 mais où la fonction /^(v) est remplacée par une partie de /onction. 



A cet eflet, calculons le terme constant A", dans le développement trigo- 

 nométrique de yjJ0,01ijII- : 0-^ ; il suffit de faire le produit des développe- 

 ments de ï)JO, OU, II : 0- et de y]. H, H : 0, et l'on trouve, après une discus- 

 sion relativement simple. 



■i'""'ï2 



^X'/ M >,("'i + '"2)(— i) 



N=l 



la dernière somme portant sur les classes propres de discriminant 8N -- i, 

 et m, , Wj (m, S/TZj) étant les deux minima impairs d'une telle classe. 



D'autre part, si l'on effectue le produit des développements de 

 Y]^ 6, H-II, : 0- et de Y], OH, : 0, et si l'on compare au résultat précédent, on 

 arrive, en examinant les cas de N pair ou impair, à deux fornmles distinctes. 

 D'abord : 



îM-i-3 — (4v-i-3) 



""^ L --i J "^^ 



Au j)remier membre, 0(4v -+- 3) est la somme "^C— i) ^ étendue, non 



