668 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



cette équation correspond au moins une fonction cp,(.'r), autre que ip, = o, 

 vérifiant la relation 



•^0 



(3) 9,(a^)-4-X, / K{x,s)wi(s)ds = o. 



Le théorème de M. Fredholm peut être complété comme il suit. A la 

 fonction ç,(.r), solution de l'équation (3), adjoignons une autre fonc- 

 tion 71, (ce) telle que l'on ait 



(4) H- >>i / (f>i(s)Ti,(s)ds — 0, 



et posons 



(5) K(x, y) = K,{x, r) -h (ft(j:')T:t{y); 



soit â)|(X) la fonction entière déduite du noyau K,(x,y) comme (0(X) se 

 déduit de K(a;, j). Au moyen des formules (3), (4) et (5), on démontre 

 facilement que l'on a entre (.i)Çk) et iS),Çk) la relation (' ) 



(6) cD()>) = cô,(>.)('i-^ 



Cette proposition a de nombreuses applications dans la théorie des équa- 

 tions intégrales. J'énoncerai seulement les résultats suivants, relatifs aux 

 fonctions fondamentales. 



I. Soient K(a;, y) un noyau quelconque, non symétrique en x et j, et 

 X, une racine multiple d'ordre n de cD(X) = o. A cette racine X, corres- 

 pondent « fonctions linéairement distinctes cp,, cp^, ..., ç„, telles que l'on 



ait 



Sk 0-1 = 91, 



S]i9,=; «oitpi -+- 921 



(7) j SK93=a3i?i +«3292 + 931 



SK9„r= a„i9i-+- «,,992 + . . .+ 9„, 

 en posant, pour abréger, 



Sk9(^)— — >i/ K{ar,s)(a{s)ds, 



et les coefficients a,^ étant des constantes. Le nombre des fonctions fonda- 

 (') L'énoncé doit être modifié pour un noyau non borné. 



