SÉANCE DU 21 OCTOBRE 1907. 669 



mentales distinctes correspondant à la racine X, est égal au nombre des 

 combinaisons linéaires distinctes des fonctions cp, qui se reproduisent par la 

 substitution linéaire (7); ce nombre peut varier de i à n pour un noyau 

 dissymétrique. Il est toujours égal à n pour un noyau symétrique. 

 II. En posant de même 



Si<4/(.r)=->., f K(s,j:)'\.{s)(/s, 



il existe aussi n fonctions linéairement distinctes ']/,, '\i.^, . . . , '\i„, telles que 

 l'on ait 



S|(+i = 4'l + =^21 'j'2 + «SI 'l'a + • • • + '(nl'\',n 



S'lv'^«— ^in 



les coefficients a,^. ayant les mêmes valeurs dans les formules (7) et (8). Le 

 nombre des fonctions fondamentales distinctes est le même pour les deux 

 équations associées 



9(x) + )., / K{û:,s)cb{s) ds^^o, t|'(^)~'"^i / K{«, jt) ']>(i) (A- — o. 



111. Posons 



n 



F(.r, V) =;2?,(^) +/(,'-). K(,r, y) -= F(.^', y) + K„(^, y); 

 1-— 1 



on a les relations 



/ V{x, s) Oi{s) ds ^^ j ii{x. s) Oi{s) ds 

 "- I) "Il 



j F(.s-, x)'^i(s)ds z= I K{s, X) '^,is)ds 



(j =z 1 , 2, . . . , n). 



(0„( a) désignant la fonction entière en A déduite du noyau K„(a7,j'), on a 



1 ^ "■ 



(9) (0()0 = iO„().)(^i ^ 



lY. S'il existe/; fonctions fondamentales distinctes pour la racine A,, on 

 peut partager les fonctions ^,, ij//, en p groupes, les fonctions d'un même 



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