SÉANCE DU 21 OCTOBRE 1907. 67I 



verses branches (') d'une même intéo^rale qui periuuteut entre elles au 

 voisinage de Tinfini et j'ai tenté d'étudier la croissance et, plus générale- 

 ment, l'allure de ces branches lorsque x varie {Comptes rendus, 18 février et 

 [^'juillet 1907). 



En premier lieu, j'ai considéré le cas où A„ et A, sont nuls et j'ai dit 

 que ce cas était caractérisé par les circonstances suivantes : Si le module de 

 la valeur initiale .Xo(^o) ^*^ assez grand, la branche d'intégrale (i) que dé- 

 finit cette rrdeur [Note i] présente une pluralité finie de points critiques dont 

 le nombre est déterminé par les degrés des polynômes \.^ et A.,. 



J'ai vérifié cet énoncé dans l'hypothèse où les degrés m., et m.^ des poly- 

 nômes A^ et A3 satisfont à l'inégalité m, >2/nj -h 2. J'étudierai (-) dans la pré- 

 sente Note le cas : m^'^im.,. [Resterait à traiter le cas-limite : /n, =: 2/^2 -l- i]. 



L'équation (1), où l'on fait Ao = A, = o, peut s'écrire 



(2) y=- ', ."'=A,Z + A3 



/>■•■ 

 ou, en posant r(.r)= 1 Aorf.r, 



(3) z = V+B, 0': 



Je supposerai, pour simplifier, que les termes de plus haut degré de A;, 

 et P (termes en x"'i et a;'"'"*"') ont pour coefficients 1. 



Cela posé, considérons un cercle S de centre O dont le rayon r sera dé- 

 terminé par diverses conditions posées au cours de la démonstration. Nous 

 étudierons la branche d'intégrale qui, en un point donné x^ extérieur à S, 



(') Désii;naiU par caraclérisliqiie loule brauche d'intégrale suivie à partir d'une 

 valeur initiale donnée le long d'un chemin rectiligne, j'appelle branche d'intégrale 

 (au sens restreint) l'ensemble des caractérisliques issues d'un point initial lixe .t'u avec 

 une valeur initiale déterminée y„. Au sens large, une branelie d'intégrale est une 



branche suivie le long d'un chemin direct quelconque I par délinilion, si x et 3;' 



arc . 

 corde 



sont deuK points d'un cliemin direct, le rapport est inférieur à un nombre A 



li\é une fois pour toutes 



;-) J'ai développé celte étude et celle du cas précédent dans des Leçons sur les 



pa- 



^ / _ -- __. — rr ^ w^..w — j.. -. ^ — -^»j^.... 



fonctions déjinies par des équations différentielles du premier ordre qui vont ,.„ 

 raître prochainement dans la Collection de monographies sur la théorie des fonc 

 lions dirigée par M. Borel. 



