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prend une valeur initiale que je désignerai par O"'^* et (jue je supposerai plus 



grande que ir"'i^\ 



Tout d'abord, nous prendrons r assez grand pour que Ton ait, en tout 



point X extérieur à S, 



_\_ _)_ 



|P(j:-) — j-"'.+' !</• ''-\x\"'.+\ IA3 — X'". !</• -^l-rl'"., 



et, à l'intérieur de S, 



|P|<(i + /~^)r"'=+', I A,| <(i + /•"*)/•'"=. 



Suivons alors 6 à partir de a;„. 



I. En premier lieu, je considère la branche à l'intérieur d'un cercle!, 



ayant pour centre l'origine et pour rayon r"'"'"^ " | C |. . 

 L'équation algébrique 



(4) P(^) + C"'.+'=:0, 



a w.,H- I racines qui, si r est assez grand, sont respectivement voisines des 



m.,-\- I zéros de af"''^' -+- C"'-'*'' . Plus précisément, entourons chacun de ces 



1 

 m.;, ■+- 1 zéros d'un cercle c de rayon p ^ 2 r ' | C |. Les racines de (4) seront 

 intérieures aux cercles c. 



Dans ces conditions, je parviens à l'énoncé suivant : 



Appelons 0„ la valeur initiale de en a^o (ôo = C''^"*"'). On peut choisir r 

 assez grand pour que, le long de tout chemin direct (' ) intérieur à S et exté- 

 rieur aux cercles c, la branche z soit donnée par l'égalité 



(5) ^=P(^) + 6„(. + y), ly|</"i 



H. Suivons maintenant la branche ; à l'extérieur du cercle S. Je constate 

 que, lorsque x s'éloigne indéfiniment sur un chemin direct^ la branche d'inté- 

 grale z est donnée par l'égalité 



(6) ^ = {l + y)P(^)+e,„ 



OÙ l'on a I Y I <^ I X I ' si r est assez grand. 



Les formules (5) et (6) donnent, on le voit, pour tous les points du plan 

 extérieurs aux cercles c, une valeur approchée de la branche d'intégrale z 

 (issue de x„ avec la valeur initiale P + 0„). 



(') l'o/Vpliis liant, la Note i. 



