SÉANCE DU 28 OCTOBKE 1907. 709 



fciiillcl, Sj, est relié au précédeiil suivant une iii;ue de croisement passant 

 par un point critique uui(pie. Dans le cas où le feuillet Sj contiendrait des 

 points critiques permettant de déduire de Zj un nombre y?m de détermina- 

 tions nouvelles, je dirais encore ([ne ^ , est de première espèce. 



Cela posé, on peut démontrer ceci : tout point transcendant de l'in- 

 verse 3(^Y) d'une fonction entière ou mèromorphe Y {z) est un point de pre- 

 mière espèce. 



Introduisons maintenant dans Y (z) des paramètres variables, paramètres 

 dontles coefficients de Y seronl des fonctions liolomorplies. Vax faisant varier 

 ces' paramètres, nous pouvons déplacer avec continuité les points critiques 

 transcendants de :; ; en particulier nous pouvons amener plusieurs de ces 

 points à coïncider et leur appliquer ensuite le théorème précédent. I) où 

 l'idée d'élaryir ce théorème afin d'en tirer une propriété caractérisant l'en- 

 semble totaldi's déterminations de s(Y) [et non plus seulement l'ensemble 

 des déterminations qui se permul<'iit an voisinage d'un point transcendant 

 isolè\. On obtient ainsi, dans le cas des fonctions entières, l'énoncé suivant : 



Quelle que soit la fonction entière Y (3), on saura décomposer le plan 

 des :; en une série de régions contiguës, ^, — séparées par des lignes conti- 

 nues qui vont de l'infini à l'infini et ne se coupent ni elles-mêmes ni entre 

 elles, — en sorte que, dans l'une quelconque de ces régions, Y ne prenne 

 qu'un nombre limité de fois (nombre inférieur à un nombre donné) une 

 valeur donnée quelconque. A l'exception de certaines régions exception- 

 nelles (régions-raccords), chaque région A sera limitée par deux lignes 

 frontières seulement. (Les régions A jouent le même rôle que jouaient, 

 dans la définition des points de première espèce, les feuillets de la surface 

 de Riemann.) 



l'oui- éUidier en détail la forme et la déliinilalion des régions iR, on devrait distin- 

 guer de nombreux cas. Conlentons-nous d'en signaler un, à titre d'exemple : celui où 

 la fonclion •:(¥) ne présente, en fait de points critiques transcendants, que des points 

 directement critiques isolés (points logarithmiques, dit M. Denjoy, qui vise précisément 

 ces points dans son théorème). Appelant Y, l'un de ces points, considérons, dans le 

 plan des ;, un chemin continu r/ s'éloignanl indéfiniment et sur lequel Y tende vers Y.l 

 il e\i-tera sûrement, une infinité d'autres chemins cl, conligus au premier, et jouissant 

 de la même propriété; l'ensemble de ces chemins constitue une sorte de bande ou 

 langue continue, i^,, qui s'éloigne vers l'infini el sur laquelle Y tend vers Y,. .Suppo- 

 sons figurées l'ensemble des langues '^ que l'on peut ainsi obtenir dans le plan des ;; 

 sur ceitaines langues, Y tendra vers l'infini ; sur d'autres, Y pourra tendre vers d'autres 

 valeurs; de plus, deux langues contiguës quelconques, 4^,, J(j+i, seronl toujours sépa- 

 rées par une bande J^^ (qui est d'ailleurs infiniment mince par rapport à elles) sur 

 laquelle \ restera indéterminée (on \)Oi\vrti'a ap^&\e.v i^i une languette d'indétermi- 

 nation). Cela posé, si l'on désigne par J^,, .Ç^^., deux langues contiguës quelconques. 



