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1007). Cl sur les(|iiolles nous revenons aujourd'hui pour les compléter. 



1° Pour les sept premiers types, les images sont des surfaces de genre géo- 

 métrique zéro et de genre arithmétique — i, possédant un faisceau elliptique 

 de courbes elliptiques. Réciproquement, toute surface de genre zéro possé- 

 dant un tel faisceau est l'image d'une involulion de l'un des sept premiers 

 types. 



Deux seulement des surfaces images équivalent à des plans doubles, 

 c'est-à-dire à des surfaces z^ = '|(/7, y). Les courbes de diramation, '| = o. 

 sont alors les suivantes, à une transformation Cremona près : 



a. Quatre droites concourant en un point (), et deux cubiques quel- 

 concjues, appartenant au faisceau dont une première courbe est formée par 

 les trois premières droites, et une seconde par la (|ualrième droite jointe à 

 une droite double arbitraire, ne passant pas par O. 



b. Une conique, les six côtés d'un quadrangle inscrit, et une courbe du 

 sixième ordre ayant pour points doubles les sommets et les points diago- 

 naux du quadrangle, ayant en outre un lacnode en un des points communs 

 à une diagonale et à la conique, avec la tangente en ce point à la conique 

 pour tangente tacnodale. 



Les surfaces images des cinq autres types se définissent aisément par leurs 

 équations. 



2° Les trois types suivants ont pour images des surfaces régulières de genre 

 zéro et de bigenre un, équivalentes à des plans doidtles. 



La courbe de diramation se caractérise simplemenl dans chaque cas. Par 

 exemple, pour un des types, c'est l'ensemble de deux conicjues bitangentes, 

 de leurs tangentes communes et de deux droites issues du point de concours 

 de celles-ci. Pour un aulre type, c'est l'ensemble de deux couples de droites, 

 d'une conique passant par les quatre points (distincts) communs à ces deux 

 couj)les, et d'une quarticjue contenant ces (piatre points, et ayant pour 

 points doubles les points diagonaux du quadrangle. 



3° Les ringt types restants ont pour images des surfaces régulières de 



genre un. 



L'image du premier type est la surface bien connue sur laquelle à un même 

 point correspondent les couples d'arguments w, r et — u, — r; cette surface 

 équivaut, dans tous les cas, à une surface d'ordre quatre, \\ douze points 

 doubles au moins, liés à une certaine configuration de courbes rationnelles. 



Les dix-neuf derniers types d'involutions ne peuvent exister que sur des sur- 

 faces hypcrelliptiques S doublement ou triplement singulières. 



