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Il a trouvé que les fonctions ^ cju'il appelle /'o/?c//o/;.v adjointes doivent 

 satisfaire aux équations 



,' X(Y,) = Y(X,) 



j \(F) =2^'£r 



En même temps, M. de Donder et enfin M. Saltykov ont retrouvé des 

 résultats de M. Buhl à l'occasion d'autres recherches ('). 



M. Appell, en employant la méthode de Liouville, a déduit inversement 

 le théorème de M. Buhl du théorème de Poisson (^). 



On remarquera que les fonctions adjointes de M. Buhl ne sont autres que 

 les coefficients des équations aux variations de M. Poincaré, qui jouent un 

 si grand rôle dans la formation des invariants intégraux ('). 



Aux résultats trouvés par M. Buhl j'ai à .ijouter les observations sui- 

 vantes : 



1° Les équations (i) ne donnent pas la solution la plus générale du pro- 

 blème. 



En efl'et, formons l'expression 



XY(4.) - YX(4») =2[X(Y,) - Y(X,)]^- 



Pour que (p et Y((I)) soient en même temps une intégrale de X, il n'est 

 pas besoin que l'équation du second membre soit identiquement nulle. Il 

 suffit que l'on ait 



XY(«Î>) — YX(<I»)= >>X($). 



Ce qui nous donne pour Y,, . . ., Y„ les équations 



(2) X(Y,)-Y{X,)z=>,X,. 



1° Il était utile de constater la présence de ces équations plus générales (2) 

 auxquelles satisfont les fonctions Y,-; car, si les formes les plus générales Y(<I») 

 qui transforment les unes dans les autres les intégrales d'une équation X($) 

 doivent être en involution avec celle-ci [d'après les équations (i)], alors il 



(') Sur les invaiianls intégraujc {Circolo nialemalico di Palermo, igoi et 1902); 

 Sur lex transformaiions injinitésimales {Joiirnat de Malhéinatiques. igoS). 



(^) Un nouveau tliéorème de M. Buhl et le théorème de Poisson ( Comptes rendus, 

 août igoi). 



(') Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste (l. I cl III). 



