75a ACADÉMIE DES SCIENCES. 



donni'e X. Les adjointes de M. Hiilil correspondonl à la classe parlicu- 

 lière X = o. 



De la forme des équations ('^), il résulte la classification suivante pour 

 les solutions des équations (a) : 



Si Y',, . . ., \', (f = I, . . ., « + i) forment un système de ^ + i solutions 

 particulières des équations (2); alors toute autre solution s'exprimera soils 

 la forme 



H,+...+ II„,, = i 



Y^ = H,((/, «„_, )Y;, + ...-(-II„+,((/, ,...,(/„__, )vr , 



\ A- = I , . . . , /« 



d'où l'expression générale des formes adjointes d'une classe X 



Y(<I>) = II,(»„ . . ., M„_,)Y>(a») +. . .-+- H„^,((/,, . ..,,/„_,) Y"+'((Ï>)H, 



avec n fondions arbitraires parmi les « -f- i fonctions. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur quelques propriétés des ëquaiions intégrales. 

 Note de M. E. Goursat, [)résentée par M. Emile Picard. 



Les résultats énoncés dans ma dernière Note (21 octobre 1907) peuvent 

 être complétés comme il suit, .le dirai, pour abréger, que deux noyaux 

 K(a;, y) et K'(a-, y) sont en involution si l'on a, quels que soient x et j, les 

 deux relations 



(■) ■ r K(.r, 5)lv'(5,y)(/^=:o, 



•-'0 



(2) i K(.v, _y)Iv'(.r, i)of5 = o. 



Soient D(^X), D'(X) les fonctions enlièies associées aux noyaux K(a;, y) 

 et K'(a:, jj, H (a;, y; X) et H'^x, y; X) les fonctions résolvantes corres- 

 pondantes : H(x', j'; X), par eveiupli', a poiii- expression 



+ ■» . Il 1 



/'-l 



Cela posé, soient K(,r, j) et K'(.r, y) deux noyaux en involution. Con- 

 sidf'-rons un troisième noyau 



R"(.i-,y) = K(.r,j)+K'(.^j), 



