SÉANCE DU /[ iVOVEMBRE 1907. ^53 



et soient D"(a) et H"(a;, r; ^) les fonctions de Frodholm corresjîondanles. 

 Enti-e les six fondions D, D', D", H, H', H" on a les dcivr relations 



(3) D"(}.) = D(X) X D'(X), 



H"(.r,y;X) _ H(.r,j;>.) , H'(.r,y;l) _ 

 ^^' B"{1) ~ D(X) "^ D'(X) ' 



on peut même observer (|ue la relation (3) a lieu pourvu seulement que 

 l'une ou l'autre des relations (i) et (2) soit vérifiée. 



La formule ('i) permet de trouver la partie principale de la fonction 



y!,-.! dans le voisinage d'une racine X, du dénominateur. Soit A, une 



racine d'ordre n de l'équation D(X) =; o ; s,, ç^, ..., ai„, ■];,, ^y,, ..., '|„ étant 

 les fonctions définies dans ma Note précédente, posons 



i<-(j", y) = i^(-^, 7) + ^n{^', y)- 



Il résulte des théorèmes que j'ai énoncés que les deux noyaux F(^, y) et 

 K„ («•,)') sont en involution. Soient A(,r, v; X) et H„(a?, y; X) les fonctions 

 résolvantes qui correspondent à ces noyaux. La formule (4) nous donne 



dans ce cas 



H(x,j;X) _ A(.g,j;>.) H„(.v,y;l) 



le dénominateur D„(X) étant égal au quotient 



i-ir 



La partie principale est donc égale au premier terme 



/<(j;, j;X) 



car le numérateur est un polynôme en X de degré /? — i au plus. Inverse- 

 ment, connaissant cette partie principale, on pourra en déduire les fonc- 

 tions ç, et '-p/,.. Je signalerai seulement le résultat suivant relatif à l'ordre du 

 pùle. S'il existe /j fonctions fondamentales distinctes, solutions de l'équation 



/(^) + l, f Ki.r,s)/is)c/s = o, 



