SÉANCE DU II NOVEMBRE 1907. 789 



les rty, réels ou non, ayant leurs modules limités supérieurement, et |«),^, | 

 étant limité inférieurement; 3° dans le domaine D de s = oc, quand 



avec i{/,- monodrome et \y^i \ limité supérieurement dans D et tendant vers o 

 avec |- |~'- Dans ces trois cas, les ordres de P et Q sont donc aussi, en gé- 

 néral, ceux des zéros et des pôles de S. 



Dans des cas étendus, la limite supérieure de l'ordre de P et Q est aussi la 

 valeur exacte de cet ordre. C'est là un résultat important pour les fractions 

 continues correspondantes, puisqu'il suffit pour leur rendre applicable une 

 série de propriétés des fonctions quasi-entières et quasi-méromorphes. Voici 

 des exemples correspondant aux trois cas ci-dessus : soit p<i l'exposant de 

 convergence de la suite des a"' , et a, réel |> o. 



1° (') P et Q sont des fonctions entières, premières entre elles, d'ordre 

 réel et apparent p. Quand p < i, la condition nécessaire et suffisante pour 

 que P, par exemple, ait sa croissance régulière, c'est que l'ordre d'infinitude 

 des a,-, rangés par ordre de grandeur croissante, soit déterminé (au sens de 

 M, Borel). P et Q ont à la fois leur croissance régulière ou irrégulière. Il y 

 a des extensions au cas où, p étant nul, on se sert de l'ordre précisé confor- 

 mément à ce que j'ai appelé la seconde classification des fondions entières (Lin- 

 delôf, Ruben Matlson, de.) et quasi-entières ; li" les a' étant réels et aj^^, posi- 

 tif, P et Q sont d'ordre ^p pour s = co et /p pour s = o [on a des résultats 

 semblables dans le cas où pi, est un polynôme analogue en s, :;-',(z— a,)~', ..., 

 {z — a,)~', avec a,- réel]; 3° Si, pour z positif assez grand, 'j/,- est réel > o, 

 l'ordre de P et Q est p. 



On peut obtenir des résultats comparables pour les fractions continues 



divergentes S = X„ h , SX, étant absolument convergente. Les 



réduites P^nQ;,',, P2«+,Q:',4-. sont telles que P,,„ Q,„, Po„^,, Q2„+, ont pour 

 limites P, Q, P', Q' pour n = xi, avec P'Q — PQ'=^ i. Exemple à titre 

 d'indication : quand X,=::;aT', a, positif, a,+,>a, à partir d'une certaine 

 valeur de i, P, Q, P', Q' sont d'ordre p, p étant l'exposant de conver- 

 gence < I de la suite des aT' . 



Ce qui précède sera traité, avec d'autres exemples, dans un Mémoire plus 

 développé. 



(') Ces fractions continues ont été considérées par Stielljes. 



