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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les solutions périodiques de l'équation 



A« + ),a(jr, y, z) u^ o. 



Note de M. A. Myi.ler, présentée par M. Appell. 



Dans un article publié dans le Tome XXII des Rendiconti del Circolo ma- 

 tematico di Palermo, M. P. Appell a construit une fonction triplement pé- 

 riodique C(^j y, s) possédant les propriétés suivantes : 



1° C(— ^. — y> — •=) = C('ï', r, -); 



2° l t{x + a',y+b\z + c') =t,{x,y, z), 



D désignant le volume du parallélépipède P construit sur les droites joi- 

 gnant l'origine aux points de coordonnées (a, b, c), (a', b', c'), (a", b", c"). 



4" La fonction "C, admet pour pôles de résidu -+- 1 les points homologues 

 de Torigine dans le réseau des parallélépipèdes admettant P comme paral- 

 lélépipède fondamental. 



Je me propose de montrer l'usage qu'on peut faire de cette fonction 

 dans l'étude des solutions continues triplement périodiques de l'équation : 



(i) A« + >.a(.r, /, 5) = o 



OÙ (xÇx, y, z) est une fonction continue, positive, triplement périodique 

 et X un paramètre. 



Soient x\ y\ z' les coordonnées d'un point fixe à l'intérieur du parallélé- 

 pipède P. Formons une fonction 'Ca{x,y, s; oe',y', z') qui possède les mêmes 

 propriétés que t(x — x', y —y', z — z') avec la seule différence qu'elle 

 satisfait à l'équation 



(2) Au= -^x{x, y, z) \k = lllc({x,y,z)da;dydz\ 



au lieu de satisfaire à Au = ^ comme le fait 'C(x — x', y — y', z — z'). 

 Cherchons d'abord une solution continue triplement périodique de 



