SÉANCE DU 25 NOVEMBRE 1907. 907 



Cette infinité pouvant, dans certains cas, se réduire même à zéro, comme 

 le montre l'exemple de l'équation de Volterra, qui peut être envisagée 

 comme une équation de Fredholm et pour laquelle D(A) = i , il est utile de 

 trouver des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'il n'en soit pas 

 ainsi. 



Le meilleur renseignement sur la densité des zéros d'une fonction entière 

 est donné par son ordre. A ce sujet, on peut démontrer le résultat suivant : 



Etant donnée l'équation de Fredholm 



9(,r)-+-X/ f{x,s)'jf{s)ds=^¥{x), 



J a 



si la fonction /(\r, v) est (fuelconque et bornée dans l'intenalle ah, l'ordre de 

 la fonction entière D(A) en A est au plus égal à deux. Pour que la fonc- 

 tion D(X) n'ait aucune racine, il faut et il suffît que 



k„=o, 

 pour // ^ 2 , en posant 



^1=/ /(*i<i)«^*i el /'■„= f{siSi)/(-hH)-' ■/{Su'i,)d{StSi.. . s„), 



'^a y a 



1") 



^2= / f{SiH)f(s,Si)d{SySi). 



Cl" 



Un théorème démontré par M. E. Schmidt, à l'aide d'un algorithme dû 

 à Schwarz, sur l'existence d'une racine au moins de D(X) dans le cas du 

 noyau symétrique est une conséquence immédiate du résultat précédent. 



Il peut être étendu à des noyaux bornés quelconques pouvant présenter, 

 dans le carré (r//;, ah), un nombre //m' de discontinuités quelconques et y 

 gardant le même signe. Un grand nombre de noyaux rentrent dans cette der- 

 nière catégorie ('). 



Si la fonction f{oc, s) est dérivahle en s, ou seulement satisfait à la condi- 

 tion de Lipschitz par rapport à celte rariahle dans le carré défini précédem- 

 ment, l'ordre de la fonction D( A) est plus petit que i . 



Dans ce cas, la fonction D(X) aura donc une infinité de racines dans le 

 cas général, c'est-à-dire si elle ne se réduit pas à un polynôme. 



{') Voir, par exemple, ma Note : Sur les solutions périodiques des équations diffé- 

 rentielles linéaires [Comptes rendus, mars 1907). 



C. R., 1907, 2- Semestre. (T. CXLV, N° 22.) 12 1 



