9o8 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur quelques points de la théorie des fonctions 

 fondamentales relatives à certaines équations intégrales. Note de M. Bryon 

 IIeywood, présentée par M. Emile Picard. 



La Note suivante s'applique à toute fonction, K(i, /), réelle ou complexe, 

 qui puisse servir comme noyau d'une équation fonctionnelle de Fredholm, 

 et à tout chemin d'intégration. 



Soient K,(5, t), K2(5, i) deux noyaux orthogonaux, c'est-à-dire qui 

 satisfont aux équations 



/ K,(^, t)K2(t, <)f/T= / R,(t, K^{s,i)dx^^o. 



1° Le déterminant de K(5, t) = K,(*, t) -+- K2(.ç, t) est le produit des 

 déterminants de K, (s, t) et de K2(*, / ). 



2" Les solutions de léquation sans second membre 



(f>(s) +.(x I K(s, t)(çi(t)dt = o 



se composent de l'ensemble de toutes les solutions des deux équations 



92(.v) + y 1 K<,{s, l)^,it)dt=o. 



Soit maintenant Iv(,v, /) un noyau quelconque, dont la résolvante est 

 K(s, t, X). Au voisinage d'une constante caractéristique X,, on a 



= 7.1 (-s t,l)^'^^(s,t,\). 



J'appelle la fonction '/,(*, t, X) la partie fondamentale de K(5, /, X) rela- 

 tive à X,. La partie correspondante de K(^, t) est 



Je trouve les résultats suivants : 



3° Les parties fondamentales du noyau relatives à deux constantes 

 caractéristiques sont orthogonales. 



