■ SÉANCE DU 25 NOVEMBRE 1907. 909 



4° Si p représente le degré de multiplicité du zéro >.,, du détermi- 

 nant D(X). et si q représente le nombre de solutions indépendantes de 

 l'équation de Fredholm sans second membre pour A _ A,, on a 



/•-+- y 5/j -H I. 

 5° La fonction ^, (*, /) s'exprime ainsi : 



9,(5, = -Î9a(0+^.(0- 



Les fonctions 



■1,(0, 'Ht), ••-, ^,-(0 

 constituent un système biorthogonal, c'est-à-dire, on a 



On(i)ij>.,(5) f/.« = o si iJt^y, =1 si (/_v. 



/■^ 



Je les appelle fonctions fondamentales. 



Les fonctions fondamentales relatives à l'ensemble des constantes carac- 

 téristiques forment un même système biorthogonal. 



6" Les fonctions (^.,{s,t), (^.^{s^t), ..., cp^(i, so"*- ^^'^ fonctions li- 

 néaires des <P|j.(i) et des '|v(0- 



Si l'on écrit 



le déterminant || a^., || est égal à l'unité. 



7° Les q solutions de l'équation de Fredholm sans second membre pour 

 A = A, sont des fonctions linéaires de o^{s), 92(^)5 • • -i ?/<(*) (')• 



8° Les fonctions fondamentales sont continues, pourvu qu'il se trouve 

 une fonction continue parmi les noyaux réitérés. 



M. Ililbert définit le noyau fermé dans le cas symétrique par la condi- 

 tion suivante : 



Il n'existe pas une fonction continue, /(*), telle que l'intégrale 



j'K{s,i)f{t)dt 

 soit identiquement nulle. 



(') Quelques-uns des résultais précédents ont été communiqués à l'Académie par 

 M. Gouisat dans les séances des 21 octobre et 4 novembre derniers, mais je dois 

 déclarer que M. Hevwood m'avait a la fin du mois de juin remis son Mémoire, que 

 diverses circonstances nront empêché de lire. (Note de M. Emile Picard.) 



