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Dans le cas asymétrique nous pouvons prendre la même condition pour 

 définir un noyau fermé par rapport à l. 



Et de même nous pouvons dire que le système biorthogonal 



<?i(*)> ?î(«), •■•> 9«(*). •■- 



est fermé par rapport à /, lorsqu'il n'existe pas une fonction continue /(/), 

 telle que, pour toute valeur de «, on ait 



/ 



Avec ces définitions, je peux énoncer les propositions suivantes : 



9° Si le système biorthogonal d'un noyau est fermé par rapport à /, le 



noyau est aussi fermé par rapport à /; 



lo" Un noyau symétrique, réel, fermé a un nombre infini de constantes 



caractéristiques. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les points irréguliers des séries convergentes 

 de fonctions analytiques. Note de M. P. Montel, présentée par M. P. Pain- 

 levé. 



Lorsqu'une suite de fonctions /„ (s), holomorphes dans un domaine D à 

 connexion quelconque, converge vers une fonction limite F (s), cette fonc- 

 tion F(;;) est formée, en général, par la réunion d'une infinité dénombrable 

 de fonctions analytiques de z dont chacune coïncide avec F (s) dans un do- 

 maine intérieur à D. La convergence de la suite est uniforme, sauf, peut- 

 être, autour de certains points, appelés irréguliers, qui constituent un en- 

 semble parfait, non dense, continu et d'un seul tenant avec la frontière 

 deD('). 



Ces points irréguliers possèdent, par rapport à la famille des fonc- 

 tions y,, (s), des propriétés qui s'énoncent de la même manière que cer- 

 taines propriétés des points essentiels isolés des fonctions analytiques. Leur 

 rôle est fondamental dans l'étude de la convergence des séries de fonctions 

 de variables complexes. M. Pierre Boutroux les a rencontrés dans ses re- 



(') Sur les suites infinies de fondions {Annales scientifiques de l'Ecole normale 

 supérieure, juillet 1907). 



