SÉANCE DU 25 NOVEMBRE 1907. 91I 



cherches sur les fonctions multiformes à une infinité de bi'anches et leurs 

 fonctions limiles('); ces points, qu'il appelle points limites des points d'in- 

 tersection des branches de la fonction multiforme, sont ceux où la fonction 

 limite peut présenter des singularités. 



J'ai démontré (^)que, dans le voisinage d'un point irrégulier z^, il y a une 

 infinité de fonctions /„(s) qui s'approchent autant qu'on le veut, en argu- 

 ment et en module, d'une valeur arbitraire a, finie ou infinie; d'une manière 

 plus précise, il y a des valeurs de :;, aussi voisines qu'on le veut de :„, et des 



valeurs den, aussi grandes qu'on le veut, pour lesquelles |/„(3) — a | ( ou y-r-. 



\ I.'" I 



si a = 00 j est inférieur à i arbitrairement petit Ou pour lesquelles l'argu- 

 ment de /,(:;) — a diffère de moins de £ d'une valeur quelconque. Voici 

 maintenant quelques propriétés nouvelles : 

 Si Sj est un point irrégulier, les équations 



ont une infinité (') de racines dans le voisinage de s^, pour toute valeur finie 

 de a, sauf, peut-être, pour une valeur exceptionnelle; en d'autres termes : 

 s'il existe deux nombres a et h tels que les équations 



(1) /«(^) = «, Mz) = b 



aient un nombre fini (* j de racines autour d' un point z„, ce point est régulier. 

 Dans ce cas, les équations 



/„(3) = F(^o) 



ont seules une infinité de racines dans le voisinage de z^. 



S'il existe deux nombres a et b tels que les équations (I) aient, autour de s^, 

 et pour cluiqiie râleur de n, un nombre de racines qui reste borné quel que 

 soit /2, le point s,, est régulier. 



D'ailleurs, si le nombre des racines reste borné pour l'une des équations 



(') P. BoiîTROUX, Sur les fonctions liiniles des fondions multifonnes {Rendiconti 

 del Circolo niatematico di Palernio, l. WIV, a" sem. 1907). 



(*) Loc. cit. 



(') Il faut entendre par là que le nombre des racines de f,,(s)^a voisines de Za 

 croît indéfiniment avec n. 



(*) Il faut entendre par là que le nombre de ces racines reste inférieur à un nombre 

 fixe. 



