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et augnienle indéfiniiiK^nl avec n pour l'autre, le point j„ peut cire irré- 

 ijulier. 



On peut, dans les proposilions pi-i'^édcntes, remplacer a et J> par des 

 polynômes ou des fonctions holomorphes quelconques. Autour d'un point 

 irrégulier :;„, les équations 



où cp(=) est une fonction holomorphe en z„ et arbitraire, ont une infinité de 

 racines, sauf, peut-être, pour une fonction 'f'(^) exceptionnelle. 



Si l'on prend pour cp(s) une des fonctions /,,.(s) de la suite, on voit qu'un 

 point irrégulier 5„ est un point limite des points d'intersection de /), avec les 

 autres /„. Réciproquement, si s„ est un point limite des points d'intersec- 

 tion des /„ avec deux fonctions f^ et/^, c'est un point irrégulier. 



Prenons comme exemple une S(>rie de Taylor dont D est le cercle de con- 

 vergence et soit /„(z- ) la somme des n premiers termes de la série. Autour 

 de chaque point :■„ de la circonférence, les équations /n(~-) = ^' ont, quel 

 que soit a (sauf, peut-être, pour une valeur exceptionnelle unique) une 

 infinité de racines, le nombre des racines de chaque l'quation croissant indé- 

 finiment avec n. S'il y a une infinité de /„(s) qui possèdent deux valeurs 

 exceptionnelles, le point z-^ n'est pas singulier et la fonction peut être pro- 

 longée au delà de s„ et représentée dans le nouveau domaine par une série 

 obtenue en groujiant convenablement des termes consécutifs de la série de 

 Taylor. Cette remarque résulte du théorème suivant : 



Si, d'une suite convergente de fonctions holomorphes, on peut extraire une 

 suite nouvelle, ayant en s„ deux valeurs exceptionnelles , la fonction limite est 

 holomorphe en 3„. 



Les propriétés précédentes demeui'ent vraies pour des séries de fonctions 

 analytiques à un nondjre quelconque de variables. On en déduit, en parti- 

 culier, la proposition suivante, dont une partie a déjà été établie par 

 M. Vitali, dans le cas d'une seule variable, au moyen de la fonction mo- 

 dulaire (') : Si des fonctions, holomorphes dans un domaine D où elles ne 

 prennent ni la valeur o, ni la valeur i, convergent à l'intérieur de D vers 

 une fonction F(z), la convergence est uniforme et, par conséquent, F(s) 

 est holomorphe. 



Les résultats énoncés dans cette Note peuvent être étendus à des fonc- 

 tions harmoniques d'un nombre quelconque de variables. 



(') G. ViTAi.i, Sopra le série di fiinzioni analitiche {Annali ili Matematica, 

 3« série, l. X, p. G5). 



