SÉANCE DU 25 NOVEMBRE 1907. 9l3 



On déduit de ce qui précède qu'une famille de fonctions analytiques ou 

 harmoniques, d'un nombre quelconque de variables, ne prenant dans un 

 domaine où elles sont continues, ni la valeur o, ni la valeur i,est une famille 

 également contiime : de toute suite infinie de ces fonctions, on peut extraire 

 une suite nouvelle convergeant uniformément vers une fonction limile; 

 toute suite infinie, convergente, converge unifonuément. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur quelques propriétés des intégrales passant 

 par un point singulier d'une équation différentielle. Note de M. H. Oulac, 

 présentée par M. P. Painlevé. 



Lorscju'on étudie les intégrales .v(^) de l'équation 



(1) {x +. . .)dy + Çky -^ . . .)dx ^=0 



qui tendent vers o avec j', on reconnaît facilement que, dans l)eaucoup de 

 cas, suivant la façon dont x lend vers o, le rapport"; = y'.i' tend ou non 

 vers une limite. 11 y a lieu de se demander s'il en est de même pour l'équa- 

 tion 



(2) [\„{x,y)-^...'\dY-\-{'S.„{x,y)+...'\dx = o 



où, dans les expressions entre crochets, qui sont des séries entières en x 

 et V, nous mettons en évidence les termes de degré minimum n. Cette 

 question présente d'autant plus d'intérêt que, dès que n est supérieur 

 à I, on ne connaît pas, en général, de relation donnant, dans le voisinage 

 de a-:=T' = o, l'intégrale générale de (2) et que, alors même qu'on coimaît 

 une pareille relation, elle met difficilement en évidence les propriétés des 

 intégrales. De plus, les méthodes habituellement employées dans l'étude 

 des intégrales de (2) pour lesquelles j' tend vers o avec x considèrent exclu- 

 sivement les intégrales pour lesquelles t tend vers une limite. Il est donc 

 naturel de se demander si l'on obtient ainsi toutes les intégrales. Il n'en-est 

 rien : en général, il y a une infinité d'intégrales telles que, x tendant rers o 

 d'une façon com'enable, y tende vers o, tandis que t ne tend vers aucune limite 

 finie ou infinie ( ' ). 



(') Ceci est bien connu dans des cas particuliers. Par exemple, l'équation 



