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Nous examinerons uniquement le cas où l'intégrale générale de l'équation 



Y„(^, y)dy->r X„{.r, y) d.r = o 



obtenue en ne considérant dans (2) que les termes de moindre degré, se 

 met sous la forme 



I I (/ -1- a,.r)^i:= const., 

 i=i 



les a et les tx étant des constantes. Ce cas est le cas général qui se présente 

 si X„ et Y„ sont quelconques; on a alors p — n -h i. En prenant/><^ « + i, 

 on peut considérer quelques cas particuliers où X„ et Y„ admettent des 

 facteurs communs. Si *' =_y = o est un point dicritique, on a 



Fi + Fa + ■ • • + F/> = o ; 



dans tous les autres cas, on peut supposer, comme nous le ferons, cette 

 somme égale à i . 



Nous nous servirons des deux formes suivantes que, dans certains cas 

 particuliers, peut prendre l'intégrale générale de l'équation (■>.), 



{h) e'"-^':»'JJ[7 + CB/(3:)]''.= const., 



/= 1 

 'ZfS 



(L) ^TT(< + «v)'^'[' + -rL, + .r'I.,H-. . .] = consl. 



:1 



Dans (L) nous supposerons que L,, Lo, ... sont àa^ fondions ralionnelles 

 de t. Dans (/>) les ç, sont des fonctions de x holomorphes et nulles 

 pour .r = o; h(x,y) est une série entière en x et y. Le nombre q est, en 

 général, égal à « + i, mais il ])enl être plus grand ou plus petit. Lorsque la 

 somme des exposants X n'est pas nulle, nous pourrons, comme nous le ferons, 

 la supposer égale à i. Nous n'aurons besoin, sauf avis contraire, que de 

 supposer l'existence formelle des développements (//) et (L) sans supposer 

 leur convergence. Entre ces deux formes d'intégrales, on a les relations sui- 

 vantes : si (A) existe et que j7=j = o ne soit pas un point dicriti([ue, 



a cotnnie intégrale 



Y 

 quand x lend vers zéro par valeurs réelles, y tend vers zéro et — est indéterminé. 



