SÉANCE DU 25 NOVEMBRE 1907. QlS 



(L) existe; si (L) existe, si a-Y„ -hyX„ n'admet pas de facteur multiple et 

 si aucun des exposants [/. n'est rationnel et négatif, (h) existe. 



Pour plus de netteté, lorsque nous considérerons les valeurs d'une inté- 

 grale j^ pour des valeurs de .r tendant vers o, suivant un chemin déterminé 

 (pouvant tourner une infinité de fois autour de a; ^ o), nous dirons que 

 nous considérons une caractéristique. Les théorèmes suivants se rapportent 

 exclusivement aux caractéristiques pour lesquelles y tend vers o avec x. 



i" Si, comme c'est le cas général, l'équation n'admet pas d'intégrale de laforme(L), 

 il y a une infinité de caractéristiques pour lesquelles t ne tend vers aucune limite; 



2° Si l'équation admet x-=zy^:zo comme point dicritique, ou si elle admet une 

 intégrale de la forme {h), la somme des exposants \ étant nulle, l tend toujours vers 

 une limite; 



3° Si l'équation admet une intégrale de la forme (/(), si la somme des exposants >. 

 n'est pas nulle et si les exposants fx ne sont pas tous réels, il y a une infinité de carac- 

 téristiques pour lesquelles t ne tend vers aucune limite; 



4° Si, les deux premières hypothèses de 3° subsistant, on suppose que les fi sont 

 tous réels, tandis que les ). ne le sont pas tous, la conclusion de 3°, bien que vraisem- 

 blable, reste douteuse. On peut généraliser 1° et 3" en disant : il existe au moins 

 un polynôme P (.r), de degré r — i au plus, tel que, si l'on considère le rapport 

 r =: [/ — r^(x)] : x'', il soit facile de reconnaître si v tend toujours vers une limite 

 ou s'il y a une infinité de caractéristiques pour lesquelles c ne tend vers aucune 

 limite; 



5° Si l'équation admet une intégrale (/«), si les \ sont tous réels et ne sont pas tous 

 positifs, t tend toujours vers une limite. Si les \ sont tous positifs, cette conclusion 

 est douteuse, si h {x, y) n'est pas convergent; 



6° La non-existence d'une limite, vers la(|uelle tende le rapport t, n'est pas la seule 

 singularité que puissent présenter les caractéristiques. En particulier, si les hypo- 

 thèses de 3° sont vérifiées, il existe une infinité de caractéristiques telles que, £ étant 

 un nombre positif aussi petit que l'on veut, y ; x tend vers o, tandis que y : .r*"*"- croît 

 indéfiniment; il y a une infinité de caractéristiques telles que/ : x croisse indéfini- 

 ment, tandis que y ; x^-^ tend vers o. 



Au lieu d'étudier y : a?, on peut étudier, par les procédés employés, le 

 rapport y : x'. Il est cependant nécessaire, dans le cas où v est irrationnel, 

 d'établir certains lemmes préliminaires. 



c. R., 1907. !• Semestre. (T. CXLV, N° 22.) 122 



