SÉANCE DU 2 DÉCEMBRE I907. 98 1 



PRIX BOUDIN. 



(Commissaires : MM. Jordan, Poincaré, Emile Picard, Appell, Painlevé, 

 Maurice Levy, Darboux, Boussinesq; Humbert, rapporteur.) 



L'Académie avait proposé le sujet suivant : 



Reconnaître d'une manière générale si les coordonnées des points d'une 

 surface algébrique peuvent s'exprimer en fondions abéliennes de deux para- 

 mètres, de telle sorte qu'à tout point de la'surface corresponde plus d'un sys- 

 tème de valeurs des paramétres {aux périodes prés) . 



Étudier en paiiiculier le cas où l'étpuition de la surface serait de la forme 

 Z-- =fÇi-, v), f étant un polynôme, et donner des exemples explicites de telles 

 surfaces. 



Un seul Mémoire a été présenté; les auteurs en sont deux géomètres 

 italiens éminents, MM. F. E.i«riques et F. Sevebi, dont les remarquables 

 travaux, associés à ceux de M. Castelnuovo, ont jeté tant de lumière sur la 

 théorie des surfaces algébriques. 



MM. Enriques et Sevcri partent de la représentation d'une surface hyper- 

 elliptique S, par des fonctions abéliennes de «, r, admettant le Tableau de 



périodes i, o; o, ^; g., h; A, g'., où est un entier, invariable dans toute 



transformation du premier ordre, et qu'ils nomment le diviseur de la sur- 

 face S. Ils appellent rang de S le nombre des couples u, c, distincts aux 

 périodes près, qui répondent à un même point de S. 



Les conditions pour qu'une surface soit hyperelliptique de rang- i ont été 

 données par M. Picard, et mises par M. Enriques sous une forme géomé- 

 trique élégante et précise; les auteurs du Mémoire commencent par rap- 

 peler ces résultats; ils complètent ensuite l'étude des surfaces de rang i, 

 principalement en ce qui concerne les systèmes de courbes algébriques 

 qu'elles contiennent. 



Abordant alors les surfaces de rang r supérieur à 1, c'est-à-dire l'objet 

 propre du problème posé, ils observent qu'une telle surface est l'image 

 d'une involuliou d'ordre rS sur une surface F, de rang et de diviseur égaux à 

 l'unité, ce qui les conduit à faire l'étude de ces involutions et à les classer, 

 soit d'après leurs transformations eu elles-mêmes, soit d'après le nombre 

 de leurs coïncidences. Ce dernier point de vue est particulièrement impor- 



